A continuación nos preguntamos ¿Qué
sucede si abrimos más rendijas? Si abrimos n rendijas las probabilidades
serán:
Es decir la probabilidad total
se calcula considerando todos los caminos posibles (rendijas) entre la fuente y
la pantalla. Finalmente podemos considerar el caso más general: el de la
propagación de una partícula libre. En este caso consideramos el hecho de que
la pantalla puede estar situada a cualquier distancia y podemos imaginar toda
una matriz de pantallas situadas a muchas distancias posibles con muchas
rendijas infinitesimales. En este caso encontramos que la probabilidad
es:
Donde x se refiere a la posición de
la partícula. Esta es la famosa integral de caminos de Feynman
y expresa la visión de la mecánica cuántica que Feynman
descubrió: la probabilidad de que una partícula se propague del punto A al
punto B en un cierto intervalo de tiempo es igual a la suma de las amplitudes
asociadas a todos los posibles caminos entre A y B.
Si consideramos distancias
macroscópicas la acción es mucho mayor que h y la exponencial varía muy
rápidamente, lo que produce que los trayectos cercanos interfieran
destructivamente y se cancelen. De esta forma, solo la trayectoria clásica
sobrevive: la trayectoria donde la variación de la acción es nula (cumpliendo
así con el principio Universal de mínima acción). Como veremos esta expresión
esconde algo muy profundo sobre la propia naturaleza del espacio-tiempo.
La integral de caminos gravitacional
Si queremos estudiar el comienzo del
Universo debemos incorporar la gravedad en nuestra integral de caminos
anterior. Como la gravedad es en realidad el movimiento del propio
espacio-tiempo, la forma de conseguir esto es considerar cada posible trayecto
como un espacio-tiempo individual e independiente. Es decir, cada posible
trayecto entre A y B se correspondería con un espacio-tiempo propio de forma
que la función que evaluamos es una superposición cuántica de todos ellos.
De esta forma, la función de onda
total se comportaría como una función de onda de todos los trayectos posibles.
Los trayectos cercanos interfieren destructivamente y se cancelan de forma que,
a grandes distancias, solo la trayectoria clásica sobrevive. La expresión que
representa esta superposición de espacio-tiempos se denomina integral de
caminos gravitacional y es la herramienta más comúnmente usada en todas las
aproximaciones de gravedad cuántica:
Esta expresión significa que para
calcular la probabilidad de transición desde un espacio-tiempo de métrica gmv en un instante A hasta otro con la misma métrica en el
instante B, debemos sumar todos los espacio-tiempos o "trayectos"
posibles entre A y B. Debido al factor S/h, esta suma es una suma ponderada, es
decir, algunos trayectos tienen una probabilidad más alta que otros.
Izquierda: Para calcular la
probabilidad de que una partícula que se encuentra en A en el instante t=0 se
propague hasta B en el instante t=1 hay que considerar todos los trayectos
posibles entre A y B. Derecha: Para calcular la probabilidad de que un
espacio-tiempo de métrica hij en el instante t=0
evolucione hasta una geometría con la misma métrica en el instante t=1 debemos
considerar todos los espacio-tiempos posibles entre t=0 y t=1.
El estado de Hartle-Hawking
y la creación del Universo
Los físicos James Hartle y Stephen Hawking
decidieron aplicar la integral de caminos gravitacional a nuestro Universo como
un todo. El "punto A" de la integral sería el instante inicial del
Universo con un volumen tridimensional que tiende a cero, el "punto
B" sería un Universo como el que observamos actualmente: un espacio-tiempo
que se expande aceleradamente. Las observaciones cosmológicas nos indican que
nuestro Universo comenzó en un estado altamente homogéneo e isótropo y sabemos
que actualmente estamos en un estado de lenta expansión acelerada
(espacio-tiempo De-Sitter); por tanto, tenemos que
incluir en la integral todos los espacio-tiempos que comienzan en el estado más
simple posible y terminan en un espacio-tiempo tipo De-Sitter.
El problema ahora es: ¿Cuáles son las condiciones iniciales que debemos
considerar en la integral?
El estado más simple posible es el
estado de vacío (estado de mínima energía). En teoría cuántica de campos el
estado de vacío se suele especificar mediante una integral Euclídea.
En una integral Euclídea hacemos el cambio de
variable t=it de forma que la métrica Lorentziana S2=(x1)2+(x2)2+(x3)2-t2 se transforma en
S2=(x1)2+(x2)2+(x3)2+t2 y todos los componentes de la métrica son positivos
(métrica Euclídea).
Hartle y Hawking
se dieron cuenta de que si utilizaban un espacio-tiempo Euclídeo
en lugar de la métrica de Lorentz, resolvían el
problema de las condiciones iniciales: la singularidad inicial desaparece y con
ella desaparecen los bordes o fronteras del origen del Universo. De esta forma
¡no es necesario especificar las condiciones iniciales! En el espacio-tiempo Euclídeo tanto el espacio como el tiempo pueden tomar
valores complejos y se comportan de forma idéntica. Esto puede representarse,
por ejemplo, de esta forma:
En el espacio-tiempo Euclídeo, tanto el espacio como el tiempo tienen una
geometría esférica y por tanto no poseen bordes o fronteras
Donde N es una constante de
normalización y IE es la acción Euclídea.
Esta es la famosa función de no contorno de Hartle-Hawking.
Esta integral de caminos gravitacional implica una transición desde una
geometría Euclídea de volumen cero (la nada absoluta
entendida como la ausencia de campos y de espacio-tiempo) hasta una geometría
tipo De-Sitter. Como podemos ver en la expresión
anterior la suma está determinada por la acción euclídea
IE. Las soluciones de la acción euclídea vienen dadas
por:
Estas soluciones se denominan instantones. Al igual que en los procesos de mecánica
cuántica usual, los instantones representan un
proceso de túnel cuántico. En los procesos de túnel cuántico usuales un campo
cuántico puede atravesar una barrera de potencial prohibida clásicamente. La
probabilidad de que esto ocurra es finita y viene dada por una cantidad
asociada a los instantones. En el caso de la función
de no frontera de Hartle y Hawking
los instantones representan la probabilidad de
"saltar" desde un espacio-tiempo Euclídeo
de volumen cero hasta un espacio tiempo De-Sitter de
factor de escala "a":
Izquierda: La flecha verde
representa el proceso de túnel cuántico a través de un espacio-tiempo euclídeo (esta es la "barrera de potencial"
prohibida clásicamente) desde una geometría de volumen 0 hasta una geometría de
factor de escala "a" (en la figura se considera H=1). Derecha:
geometría del famoso instantón de la función de no
frontera. La parte morada representa la geometría euclídea
y la parte verde es el espacio-tiempo De-Sitter que
se expande con un factor de escala "a".
El estado de Hartle-Hawking
y el problema del tiempo
La propuesta de Hartle-Hawking
es una solución a la denominada Ecuación de Wheeler-DeWitt
(ecuación de WdW). Esta última ecuación es el equivalente
a la ecuación de Schrödinger aplicada a la función de onda del Universo: H|psi>=0.
Esta expresión nos dice que el hamiltoniano total del Universo (materia más
espacio-tiempo) es cero, lo que implicaría que la energía total del Universo es
cero. Esto sería posible porque la energía positiva de los campos de materia
cancela la energía negativa asociada el campo gravitatorio. Esto respaldaría la
visión de un Universo surgido de un proceso de túnel cuántico desde un estado
de vacío. A primera vista parecería que la ecuación de Wheeler-DeWitt
implica también que no existe evolución en el Universo, el Universo parece
estar congelado. Si analizamos más detenidamente la ecuación de Wheeler-DeWitt veremos que en realidad la dinámica está
incluida en las restricciones del Hamiltoniano. Sin
embargo, ninguna de estas expresiones nos dice nada sobre el origen del paso
del tiempo.
¿Por qué el tiempo parece fluir
inexorablemente del pasado al futuro? La propuesta de Hartle
y Hawking podría darnos una importante pista sobre
esta cuestión trascendental. La función de onda del Universo tiene esta forma
general:
Si expandimos la ecuación de Wheeler-DeWitt en potencias de h obtenemos:
Si observamos la primera ecuación podemos descubrir el concepto clave: si la
fase S varía mucho más rápidamente que la amplitud W, entonces recuperamos el
comportamiento clásico ya que obtenemos la función hamiltoniana
clásica:
Esta es la clave de porque el mundo
es clásico a escalas mayores que h: el mundo clásico aparece cuando la fase de
la función de onda del Universo varía mucho más rápido que la amplitud. Cuando
este requisito fundamental se cumple obtenemos que la solución de la función de
onda del Universo es:
Si ahora consideramos un
subsistema (el sistema solar por ejemplo) con Hamiltoniano
H2 cuyo valor es despreciable con respecto al Hamiltoniano
total del Universo, entonces la ecuación de Wheeler-DeWitt
es ampliada simplemente añadiendo H2 :
Si expandimos de nuevo en
potencias de h obtenemos:
Ahora llegamos al punto crucial, si
hacemos la siguiente identificación:
Entonces obtenemos la ecuación de Schrödinger con su evolución temporal
asociada para el subsistema H2:
¡Hemos obtenido la evolución
temporal del subsistema partiendo de la función del Universo sin evolución
temporal asociada ! Esta evolución temporal estaría
ligada a la variación de la que es probablemente la magnitud más importante y
trascendente de la física fundamental: la acción.
Por último nos queda la
pregunta final: ¿Cómo pasamos del Universo Euclídeo
inicial a nuestro Universo clásico Lorentziano de
expansión acelerada? Para que esto suceda se debe cumplir nuestro requisito
fundamental: que la fase varíe mucho más rápido que la amplitud. ¿Qué posibles
evoluciones desembocan en geometrías que cumplen este requisito? La respuesta
es sorprendente y fascinante: solo las evoluciones que incluyen un periodo de
inflación cósmica cumplen con este requisito (durante la inflación el espacio
se expande muy rápido y por tanto la fase varía mucho más rápido que la amplitud).
De esta forma la propuesta de no borde predice un periodo de inflación cósmica
que desemboca en un espacio-tiempo De-Sitter como el
nuestro.
Uno de los físicos más
importantes de todos los tiempos, el gran Paul Dirac,
ya intuyó que el estado altamente homogéneo e isótropo de los comienzos del
Universo probablemente implicaría que el Universo tuvo que surgir de un estado
de vacío mediante un proceso similar al túnel cuántico cuando en un discurso en
1939 exclamó lo siguiente:
"Con la nueva Cosmología, el
Universo debe haber comenzado de alguna manera muy simple. ¿Qué sucede entonces
con las condiciones iniciales requeridas por la teoría dinámica? Claramente no
puede haber ninguno, o deben ser triviales. Nos quedamos en una situación que
sería insostenible con la mecánica antigua. Si el universo fuera simplemente el
movimiento que se sigue de un esquema dado de ecuaciones de movimiento con condiciones
iniciales triviales, no podría contener la complejidad que observamos. La
mecánica cuántica proporciona un escape de la dificultad. Nos permite atribuir
la complejidad a los saltos cuánticos, que se encuentran fuera del esquema de
ecuaciones de movimiento"
Conclusiones: las consecuencias del
estado de Hartle-Hawking
El estado de Hartle-Hawking
explica de forma asombrosamente simple muchas de las características
fundamentales de nuestro Universo:
1º) Las observaciones cosmológicas
indican que el Universo temprano era homogéneo e isótropo. Esto implica que el
Universo tuvo que surgir de un estado muy simple pero capaz de producir después
las inhomogeneidades observadas. El efecto túnel del
estado de Hartle-Hawking es capaz de explicarlo.
2º) Explica por qué la entropía
inicial y la energía total es cero.
3º) Explica cómo la inflación
cósmica tubo que surgir como transición desde una geometría Euclídea
a una geometría Lorenziana.
4º) Evita la singularidad
inicial y el problema de las condiciones iniciales: no existe borde ni
frontera.
5º) Explica cómo el
espacio-tiempo clásico llega a dominar después de la etapa de geometría Euclídea e inflación cósmica.
La visión global de todo esto es entonces la siguiente: a partir de un estado
inicial donde el espacio-tiempo clásico no existe (espacio-tiempo imaginario o
geometría Euclídea) nuestro espacio-tiempo real
surgió por efecto túnel hacia un estado de energía y entropía cero. Después de
este estado una etapa de inflación cósmica aumentó exponencialmente el volumen
del Universo y desembocó en el Big-Bang, donde
apareció el espacio-tiempo clásico y la materia. La geometría inicial Euclídea es "atemporal" en el sentido clásico y
la función de onda del Universo representa realmente una "superposición de
Universos": por ello, de alguna forma podemos decir que el estado de Hartle-Hawking representa realmente un Multiverso
donde la creación de universos clásicos puede suceder de forma
continua y eterna.
©
2023 JAVIER DE LUCAS
