ESTADO HARTLE-HAWKING

Nuestro modelo cosmológico estándar incluye un periodo brevísimo de expansión exponencial denominado inflación cósmica que finalizó en la gran explosión del Big-Bang. Para intentar comprender qué pudo suceder en el instante mismo de la creación del Universo debemos estudiar qué sucedió justo en el comienzo de este periodo inflacionario. A primera vista esta tarea parece fuera del alcance de la ciencia y por tanto inaccesible para el conocimiento humano, sin embargo, los físicos teóricos, armados con la "herramienta" más poderosa que existe (las Matemáticas) son capaces de lograr cosas realmente increíbles.

En este artículo estudiaremos detalladamente como dos físicos consiguieron la increíble proeza de proponer un modelo factible y comprobable sobre la creación cuántica de nuestro Universo. A fecha de hoy, este modelo permanece como una de las propuestas más interesantes y convincentes para explicar el origen de nuestro Universo. ¡Bienvenidos al instante mismo de la creación de todo lo que existe!

El experimento de la doble rendija y la suma de trayectorias de Feynman

Antes de tratar de explicar cómo pudo producirse la creación (cuántica) de nuestro Universo debemos empezar por lo más básico: la Física cuántica. Se pueden destacar tres formulaciones diferentes pero equivalentes de la teoría de la Mecánica Cuántica: la formulación matricial de Heisenberg, la formulación "estándar" ondulatoria desarrollada por Schrödinger y la formulación basada en integrales de camino de Feynman. En este apartado nos basaremos en esta última.

La probabilidad de que la pantalla registre el electrón cuando solo la rendija 1 está abierta es P1 mientras que la probabilidad cuando solo la rendija 2 está abierta es P2. Clásicamente esperaríamos encontrar que la probabilidad total P sea la suma de ambas probabilidades P=P1+P2 pero lo que realmente encontramos es

Donde Psi 1 y Psi 2 son dos funciones complejas, es decir, funciones con parte real y parte imaginaria o equivalentemente funciones con módulo y argumento. La probabilidad final es la suma de los módulos (amplitudes) de dichas funciones complejas. El valor de una amplitud individual puede escribirse como:

Donde S es el valor de la acción. Por tanto, en el experimento de la doble rendija, para calcular la probabilidad correcta debemos evaluar dos trayectos diferentes con acciones S1 y S2:

A continuación nos preguntamos ¿Qué sucede si abrimos más rendijas? Si abrimos n rendijas las probabilidades serán:

Es decir la probabilidad total se calcula considerando todos los caminos posibles (rendijas) entre la fuente y la pantalla. Finalmente podemos considerar el caso más general: el de la propagación de una partícula libre. En este caso consideramos el hecho de que la pantalla puede estar situada a cualquier distancia y podemos imaginar toda una matriz de pantallas situadas a muchas distancias posibles con muchas rendijas infinitesimales. En este caso encontramos que la probabilidad es:

Donde x se refiere a la posición de la partícula. Esta es la famosa integral de caminos de Feynman y expresa la visión de la mecánica cuántica que Feynman descubrió: la probabilidad de que una partícula se propague del punto A al punto B en un cierto intervalo de tiempo es igual a la suma de las amplitudes asociadas a todos los posibles caminos entre A y B. Si consideramos distancias macroscópicas la acción es mucho mayor que h y la exponencial varía muy rápidamente, lo que produce que los trayectos cercanos interfieran destructivamente y se cancelen. De esta forma, solo la trayectoria clásica sobrevive: la trayectoria donde la variación de la acción es nula (cumpliendo así con el principio Universal de mínima acción). Como veremos esta expresión esconde algo muy profundo sobre la propia naturaleza del espacio-tiempo.

La integral de caminos gravitacional

Si queremos estudiar el comienzo del Universo debemos incorporar la gravedad en nuestra integral de caminos anterior. Como la gravedad es en realidad el movimiento del propio espacio-tiempo, la forma de conseguir esto es considerar cada posible trayecto como un espacio-tiempo individual e independiente. Es decir, cada posible trayecto entre A y B se correspondería con un espacio-tiempo propio de forma que la función que evaluamos es una superposición cuántica de todos ellos.

De esta forma, la función de onda total se comportaría como una función de onda de todos los trayectos posibles. Los trayectos cercanos interfieren destructivamente y se cancelan de forma que, a grandes distancias, solo la trayectoria clásica sobrevive. La expresión que representa esta superposición de espacio-tiempos se denomina integral de caminos gravitacional y es la herramienta más comúnmente usada en todas las aproximaciones de gravedad cuántica:

Esta expresión significa que para calcular la probabilidad de transición desde un espacio-tiempo de métrica gmv en un instante A hasta otro con la misma métrica en el instante B, debemos sumar todos los espacio-tiempos o "trayectos" posibles entre A y B. Debido al factor S/h, esta suma es una suma ponderada, es decir, algunos trayectos tienen una probabilidad más alta que otros.

Izquierda: Para calcular la probabilidad de que una partícula que se encuentra en A en el instante t=0 se propague hasta B en el instante t=1 hay que considerar todos los trayectos posibles entre A y B. Derecha: Para calcular la probabilidad de que un espacio-tiempo de métrica hij en el instante t=0 evolucione hasta una geometría con la misma métrica en el instante t=1 debemos considerar todos los espacio-tiempos posibles entre t=0 y t=1.

El estado de Hartle-Hawking y la creación del Universo

Los físicos James Hartle y Stephen Hawking decidieron aplicar la integral de caminos gravitacional a nuestro Universo como un todo. El "punto A" de la integral sería el instante inicial del Universo con un volumen tridimensional que tiende a cero, el "punto B" sería un Universo como el que observamos actualmente: un espacio-tiempo que se expande aceleradamente. Las observaciones cosmológicas nos indican que nuestro Universo comenzó en un estado altamente homogéneo e isótropo y sabemos que actualmente estamos en un estado de lenta expansión acelerada (espacio-tiempo De-Sitter); por tanto, tenemos que incluir en la integral todos los espacio-tiempos que comienzan en el estado más simple posible y terminan en un espacio-tiempo tipo De-Sitter. El problema ahora es: ¿Cuáles son las condiciones iniciales que debemos considerar en la integral?

1º) Las observaciones cosmológicas indican que el Universo temprano era homogéneo e isótropo. Esto implica que el Universo tuvo que surgir de un estado muy simple pero capaz de producir después las inhomogeneidades observadas. El efecto túnel del estado de Hartle-Hawking es capaz de explicarlo.

2º) Explica por qué la entropía inicial y la energía total es cero.

3º) Explica cómo la inflación cósmica tubo que surgir como transición desde una geometría Euclídea a una geometría Lorenziana.

4º) Evita la singularidad inicial y el problema de las condiciones iniciales: no existe borde ni frontera.

5º) Explica cómo el espacio-tiempo clásico llega a dominar después de la etapa de geometría Euclídea e inflación cósmica.

La visión global de todo esto es entonces la siguiente: a partir de un estado inicial donde el espacio-tiempo clásico no existe (espacio-tiempo imaginario o geometría Euclídea) nuestro espacio-tiempo real surgió por efecto túnel hacia un estado de energía y entropía cero. Después de este estado una etapa de inflación cósmica aumentó exponencialmente el volumen del Universo y desembocó en el Big-Bang, donde apareció el espacio-tiempo clásico y la materia. La geometría inicial Euclídea es "atemporal" en el sentido clásico y la función de onda del Universo representa realmente una "superposición de Universos": por ello, de alguna forma podemos decir que el estado de Hartle-Hawking representa realmente un Multiverso donde la creación de universos clásicos puede suceder de forma continua y eterna.