El gran Albert Einstein se imaginó a sí mismo "cabalgando a lomos de un rayo de luz". Einstein se dio cuenta de que viajando a la velocidad de la luz las leyes del electromagnetismo mostraban una incómoda asimetría. Según explicó años más tarde, este es uno de los experimentos mentales que le llevó a descubrir la teoría de la relatividad. Más de un siglo después, una versión moderna de este experimento mental parece asomarse desde lo más profundo de las "costuras" del espacio-tiempo. Recientemente los físicos teóricos han encontrado un fenómeno que parece repetirse en muchas de las teorías candidatas a describir la gravedad cuántica: teoría de cuerdas, gravedad cuántica de lazos, dinámica de triángulos causales, gravedad cuántica asintóticamente segura, modelos de espuma cuántica...

Este fenómeno se denomina "silencio asintótico" por su similitud a lo que se cree que sucede muy cerca de una singularidad cósmica: como si viajásemos a "lomos de un rayo de luz", los conos de luz asociados a nuestra trayectoria se comprimen tanto que se convierten en una línea recta y los puntos adyacentes del espacio se desconectan causalmente de forma que no pueden "oírse" unos a otros. Este fenómeno implica el final del espacio-tiempo clásico que conocemos. En este artículo explicaré cómo surge este fenómeno en nuestras aproximaciones modernas de gravedad cuántica y como de confirmarse supondría el descubrimiento de una propiedad cuántica fundamental del espacio-tiempo.

El concepto de dimensión del espacio-tiempo

Si estuviésemos en un planeta extraño cuya geometría es desconocida, ¿Cómo podríamos determinar experimentalmente su dimensión espacial?

Una opción sería dibujar una línea recta en su superficie, luego trazar otra línea perpendicular a ella y repetir este proceso. Si solo podemos trazar 3 líneas perpendiculares el espacio es tridimensional. Sin embargo, esto solo es válido en geometrías planas o Euclideas; si el espacio está curvado este método no es válido y tendríamos que usar geodésicas. ¿Podemos encontrar una definición más general? Lo primero es preguntarse: ¿Qué entendemos por dimensión del espacio-tiempo? Ciertos teoremas matemáticos como los trabajos de Cantor que demuestran que un segmento y un cuadrado de área unidad tienen el mismo número de puntos, hacen que necesitemos una definición más apropiada del concepto de dimensión. Por otro lado, una línea recta puede parecer unidimensional si la observamos desde lejos pero si nos acercamos lo suficiente comprobaremos que tiene un espesor por lo que no es unidimensional en realidad. Esto nos indica que el concepto de dimensión no es absoluto sino que depende de las variables del sistema como la energía o la distancia a la cual realizamos las observaciones.

En teoría de cuerdas, por ejemplo, la escala natural es la escala de Planck. A esta energía las cuerdas "sienten" dimensiones adicionales. Esto nos indica que en gravedad cuántica el concepto de dimensión es aún más difuso si cabe. Por esto necesitamos "marcadores" adecuados que nos permitan estimar la dimensión de un sistema cuántico en función de las variables u observables que utilicemos en cada caso. Algunos de los "marcadores" más utilizados en física fundamental son los siguientes:

Dimensión de Hausdorff o Dimensión Fractal: Se calcula rellenando el espacio-tiempo de dimensión desconocida con bolas de radio R. Midiendo como evoluciona el volumen V de estas bolas a medida que variamos la escala de energía del sistema puede determinarse la dimensión del espacio-tiempo a través de la fórmula V=rD donde r es el radio de la bola y D la dimensión del espacio (por ejemplo, en un espacio tridimensional el volumen escala como el cubo del radio).

Dimensión espectral: Para estimar la dimensión de un espacio-tiempo podemos definir un proceso de difusión aleatoria ("random walks"). En este proceso se mide el tiempo que se tarda en realizar un camino cerrado aleatorio en el espacio-tiempo. La idea central es que cuanto mayor sea la dimensión del espacio-tiempo más grados de libertad afectará a este proceso y más tiempo tardará en realizarse el trayecto.

Dimensión termodinámica: Ciertas magnitudes termodinámicas como la energía libre o la energía interna de un sistema dependen directamente de la dimensión del espacio-tiempo. Midiendo como evolucionan estas magnitudes podemos estimar la dimensión del espacio-tiempo.

Funciones de Green: Ehrenfest demostró que el potencial gravitatorio Newtoniano en un espacio-tiempo de d dimensiones varía como r-(d-3). Basándose en este hecho, puede realizarse la generalización siguiente:

Donde la función sigma(x,x') es la mitad del cuadrado de la distancia geodésica entre x y x'. Esto constituye un indicador de la dimensión espacio-temporal.

Dimensión de escala: Los campos físicos poseen una escala natural D que describe cómo varia el campo cuando modificamos la escala de las longitudes y las masas del sistema considerado. Por ejemplo, un campo escalar posee en su acción un término de la forma:

Donde la acción es integrada sobre D dimensiones del espacio-tiempo. Para que la acción sea invariante ante cambios de escala, el campo debe escalar como L(-X), donde X=d-2/2. La dimensión d es la denominada dimensión de escala.

Recientemente los físicos han encontrado algo sorprendente: calculando la evolución de estos marcadores en diferentes aproximaciones de gravedad cuántica para escalas más y más pequeñas, encontramos que según nos acercamos a la escala de planck el número de dimensiones efectivas se reduce, concretamente ¡la dimensión efectiva del espacio-tiempo se reduce de cuatro a dos! Esto parece indicar que la estructura cuántica fundamental del espacio-tiempo ¡es una estructura bidimensional! Antes de explicar cómo los físicos han descubierto este fascinante fenómeno en las diferentes aproximaciones de gravedad cuántica, veremos cómo se produce el fenómeno de "silencio asintótico" en cosmología al alcanzar una singularidad del espacio-tiempo.

Silencio asintótico en una singularidad espacio-temporal

Describir qué sucede cerca de una singularidad como las que se encuentran en el interior de los agujeros negros no es posible sin tener una teoría de la gravedad cuántica definitiva. Sin embargo, asumiendo ciertas aproximaciones razonables, podemos tratar de entender qué sucede en los alrededores de estos "monstruos cósmicos". Los físicos creen que una teoría cuántica de la gravedad debe cumplir con la denominada ecuación de Wheeler-DeWit:

Donde lp es la longitud de planck cuyo valor es:

La ecuación de Wheeler-DeWit tiene información de la métrica a todas las escalas. Para ver qué sucede a pequeñas escalas cerca de una singularidad debemos analizar el comportamiento de la ecuación cuando el acoplamiento gravitatorio G tiende a infinito, es decir, para lp tendiendo a infinito. También podemos hacer que lp tienda a infinito haciendo que c tienda a 0. Al hacer que lp tienda a infinito, el único término de la ecuación de Wheeler-DeWit que posee derivadas espaciales desaparece. Esto quiere decir que los conos de luz se cierran sobre si mismos y se transforman en líneas rectas. Esto implica que los puntos espaciales se desacoplan y tenemos un sistema bidimensional: la de un punto que evoluciona en el tiempo (una "world line"). De esta forma los puntos adyacentes se desconectan causalmente y no pueden "oírse". Por ello este fenómeno se denomina silencio asintótico.

Reducción dimensional en teoría de cuerdas

La primera señal de reducción dimensional según nos acercamos a la escala de planck fue encontrada en teoría de cuerdas. Cuando se calienta un gas de cuerdas por encima de una temperatura crítica, denominada temperatura de Hagedorn, el sistema sufre una transición de fase. En 1988 los físicos Atickk y Witten encontraron que por encima de esta temperatura el número de grados de libertad disminuye drásticamente y la energía libre evoluciona como F/V=T2. Esto quiere decir que por encima de la temperatura de Hagedor ¡la dimensión termodinámica cambia de cuatro a dos! En palabras del gran físico-matemático Edward Witten: "por encima del punto crítico aparece un misterioso sistema que se comporta como una teoría de campos bidimensional". Por otro lado, es conocido que la amplitud de dispersión en la interacción entre dos cuerdas cae exponencialmente con la energía: esto apunta también a una reducción efectiva de las dimensiones del espacio-tiempo a muy altas energías.

Silencio asintótico en dinámica de triángulos causales

A pesar de los indicios encontrados en teoría de cuerdas, no fue hasta 2005 cuando el interés de la comunidad científica por el fenómeno de reducción dimensional se disparó. La aproximación de gravedad cuántica denominada dinámica de triángulos causales se basa en el hecho de que cualquier superficie o volumen continuo (superficies de Riemann) puede aproximarse con la precisión necesaria usando triángulos (para superficies) o tetraedros (para volúmenes). Este hecho es utilizado en el llamado cálculo de Regge, capaz de capturar la dinámica de la relatividad general usando triángulos o tetraedros.

Una superficie bidimensional puede cubrirse completamente usando triángulos. Cuantos más triángulos usemos mayor será la precisión obtenida. Calculando el ángulo total alrededor de un punto de unión de estos triángulos podemos medir la curvatura: si este ángulo es 2PI la superficie es plana, si es diferente el espacio está curvado

Con estos constituyentes básicos se puede hacer una simulación del espacio-tiempo utilizando la integral de caminos gravitacional, esto es, sumando sobre todas las geometrías posibles entre dos intervalos de tiempo. De forma similar al cálculo de Feynman en mecánica cuántica, el cálculo de Regge se realiza sumando la cantidad de triángulos (de una longitud fija determinada) que atravesamos al considerar todos los caminos (geometrías) posibles.

Ejemplo de simulación del espacio-tiempo en dinámica de triángulos causales: a partir de un instante inicial (zona central) el espacio-tiempo se expande simulando un espacio-tiempo De-Sitter (un espacio-tiempo en expansión con curvatura positiva continua) como nuestro Universo real.

En 2005, los físicos Ambjørn, Jurkiewicz y Loll utilizaron un nuevo y mejorado modelo basado en dinámica de triángulos causales y encontraron algo totalmente inesperado. El modelo no solo predecía un Universo en expansión cuatridimensional como el nuestro a grandes escalas sino que cuando nos acercamos a escalas muy pequeñas ¡La dimensión espectral cae a dos dimensiones!

El eje horizontal representa la escala (distancia) y el eje vertical la dimensión espectral. Según nos aproximamos a la escala de Planck, la dimensión cae de cuatro a dos

Estos modelos fueron verificados de forma independiente por otros grupos de físicos. La importancia de este resultado reside en que este modelo está basado en principios geométricos que son más generales y menos especulativos que los usados en otras aproximaciones y que se piensa que deben ser cumplidos por cualquier teoría de gravedad cuántica.

Silencio asintótico en gravedad cuántica de lazos

En gravedad cuántica de lazos la longitud y el área solo pueden tomar valores discretos. El área promedio puede ser escrito como:

Donde l es el cuanto de longitud y lp es la longitud de Planck. Para grandes valores de l este área promedio escala con una dimensión efectiva correspondiente a cuatro pero cuando l es pequeño ¡el área escala con dimensión efectiva bidimensional! Otros estudios sobre como varía la dimensión efectiva con la distancia dependen mucho de los detalles del modelo y por tanto no son concluyentes por lo que serán necesarias simulaciones más precisas.

Silencio asintótico en gravedad cuántica asintóticamente segura

Si analizamos la relatividad general como una teoría de campos usual encontramos que la teoría es no renormalizable: su acción efectiva tiene infinitos términos que son imposibles de controlar. Sin embargo, si la teoría tuviese a muy altas energías un punto fijo ultravioleta con un número finito de direcciones (direcciones de evolución del flujo de renormalización), entonces la teoría dependería solamente de estos grados de libertad finitos y la teoría sería renormalizable, válida a todas las escalas y "asintóticamente segura". Nadie sabe aún si la relatividad general es asintóticamente segura pero hay indicios que apuntan en esa dirección. Si la respuesta es positiva, entonces los operadores del punto fijo ultravioleta necesariamente adquieren una dimensión de escala bidimensional, ya que la acción de Einstein-Hilbert solo es invariante de escala en dos dimensiones y en el punto fijo la teoría es invariante de escala. Este sería otro indicio de silencio asintótico proveniente de una aproximación totalmente diferente.

Reducción dimensional en modelos de "espuma cuántica"

En 1955 el físico John Wheeler propuso que las fluctuaciones cuánticas del espacio-tiempo cerca de la escala de Planck producirián un espacio-tiempo difuso y altamente cambiante. El famoso término de "espuma cuántica" acuñado por Wheeler para describir esta estructura sigue estando activo en las aproximaciones modernas. Después de la propuesta original de Wheeler surgieron modelos de espuma cuántica basados en "gravedad estocástica". Uno de estos modelos propuestos por Crane y Smolin describe una espuma cuántica basada en agujeros negros virtuales. Si la distribución de estos agujeros negros es invariante de escala y suficientemente densa, el espacio-tiempo exterior a los agujeros negros tiene una dimensión de escala igual a 4-X, donde el valor de X depende de los detalles de la distribución de los agujeros negros. Aunque el valor de X no es conocido, este cálculo apunta de nuevo a una reducción dimensional a escalas muy pequeñas.

Conclusiones

Aún es pronto para sacar conclusiones definitivas: los próximos estudios deberán confirmar o refutar la existencia de esta "extraña entidad bidimensional" cerca de la escala de Planck. De confirmarse su existencia, estaríamos ante un descubrimiento fascinante: ¿Cuál es la naturaleza de este sistema bidimensional? ¿Hemos descubierto los componentes fundamentales del espacio-tiempo? ¿Hay una conexión entre este sistema y los elementos fundamentales de nuestras teorías de gravedad cuántica (cuerdas, loops, etc)?