Hay en nuestros días tres tipos de ábaco en uso constante. El «suan pan» chino, también usado en Corea, está formado por cuentas parecidas a rosquillas pequeñas, que se deslizan sin apenas rozamiento a lo largo de varillas de bambú. Cada vástago porta cinco cuentas (unos) por debajo de la barra, y dos más (cincos) por encima. El ideograma chino suan, «calcular», ha sido tomado del libro de Menninger; vemos en él un ábaco sostenido por debajo por el ideograma correspondiente a «manos», y adornado por arriba con el símbolo «bambú». Se ignora el origen del suan pan. En el siglo XVI se disponía ya de descripciones precisas, pero sin duda el instrumento tiene varios siglos más de antigüedad.

Se habla en los círculos matemáticos un sorprendente final de la historia. Sheram, preocupado al haber empeñado su palabra, mandó llamar al matemático del reino, un tal Javier de Lucas, el cual razonó de la siguiente manera:

Todos estamos familiarizados con los motivos ornamentales geométricos usados en la decoración de paredes y techos. Los palacios orientales contienen una gran abundancia de éstos. Nosotros tenemos del mismo modo los mosaicos o teselaciones simétricas del plano euclídeo. Aunque podemos imaginar o incluso crear muchos; si nuestro propósito es conocer el grupo de simetrías de los mosaicos y si queremos conocer el grupo formado por las isometrías planas que los dejan invariantes, las reglas por las que se rigen son bastante restrictivas. Desde este punto de vista E. Fedorov a finales del siglo pasado y por otra parte G. Polya, a comienzos del actual, probaron que dentro de la teoría de grupos finitos hay exactamente 17 grupos posibles. Cada uno de éstos permite la división del plano en celdas congruentes que, agrupadas y coloreadas convenientemente, dieron lugar a los mosaicos clásicos y sirvieron al holandés M. C. Escher (1898-1972) de inspiración para sus famosos grabados, los cuales son tan interesantes desde el punto de vista artístico como del matemático.

Arquímedes fue además un genio de la mecánica. Entre sus inventos más célebres se encuentra el tornillo de Arquímedes, utilizado en muchos países, entre ellos, España, para extraer agua de los pozos. Construyó también planetarios que, pese a la lejanía en el tiempo, eran tan populares como lo son en la actualidad.

Sin embargo, no fueron sólo los inventos «pacíficos» los que dieron a Arquímedes su gran fama en la antigüedad, sino también su contribución a la defensa de Siracusa contra los romanos. Este septuagenario matemático había dotado al ejercito de dicha ciudad de armas muy modernas, las cuales causaron el desconcierto total entre los soldados romanos. Los historiadores de la época no describen los espejos ustorios, pero sí lo hacen los posteriores. Fueron mencionados por primera vez por Galeno (129-199). Si realmente existieron, debió tratarse de alguna especie de espejo parabólico. Según cuenta la leyenda, durante el asedio de la tropas romanas a Siracusa (213-212 aC) fueron capaces de concentrar los rayos de sol en una zona muy reducida y de esta forma, dirigidos hacia la armada romana, provocaron el incendio de las naves. Arquímedes los situó de forma que los rayos del sol llegaran paralelos al eje y que, una vez concentrados, apuntaran a las velas de los barcos enemigos. Muy pronto los romanos vieron, atónitos, cómo las velas de sus barcos ardían como por arte de magia. El ejercito de Siracusa fue así capaz de destruir la armada de los invasores.

Se sabe que es matemáticamente posible la construcción de tales artefactos (v. Parábola). Experimentalmente, se ha demostrado que la leyenda es creíble, como probó en 1747 un naturalista francés, el conde de Buffon. Sin embargo, Siracusa cayó en manos romanas a causa de una traición y Arquímedes fue asesinado. Marcelo, a modo de desagravio, mandó erigir para Arquímedes una tumba sobre la cual se veía una esfera circunscrita por un cilindro que simbolizaba, de acuerdo con sus deseos, su teorema favorito sobre los volúmenes del cono, el cilindro y la esfera. Cuando Cicerón visitó Sicilia pudo ver todavía el monumento que se ha perdido para la historia.

El Yenri, o principio del círculo, es la primera forma de cálculo infinitesimal desarrollada en Japón. Se atribuye tradicionalmente a Seki Kowa, un matemático del siglo XVII. Un dibujo, fechado en 1670, da la superficie del círculo a partir de la suma de una serie de rectángulos inscritos en él.

La derivada apareció veinte siglos después de que Arquímedes sentara las bases del cálculo de áreas y para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en común con la integral definida. El descubrimiento más importante del cálculo diferencial e integral creado por Barrow, Newton y Leibniz es la íntima relación entre la función derivada y la integral definida. Una vez conocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas.

2ª Ley: Al moverse el planeta en su órbita, el radio vector, segmento que une el planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales.

3ª Ley: La relación que existe entre el radio medio de la órbita elevado al cubo y el período elevado al cuadrado es constante para todos los planetas.

Aunque Leonardo es más conocido universalmente por su pintura que por su restante obra científica, sus contribuciones a otras artes, por ejemplo la escultura, y a ciencias como ingeniería, mecánica, física, biología, arquitectura, anatomía, geología y matemáticas, fue decisiva. Considera a estas últimas como la llave de la naturaleza. Aunque su obra conocida en esta especialidad no está escrita con suficiente rigor ni los resultados obtenidos fueron decisivos en aquel momento, merece, sin embargo, ser considerado en la historia del pensamiento matemático universal por sus prodigiosas intuiciones, en particular, las de carácter geométrico. Algunas de ellas se plasmaron en realidades en los siglos posteriores. Personalmente pienso que en ello radica gran parte de la genialidad de Leonardo. A lo largo de la historia de la humanidad todos, o casi todos, los descubrimientos científicos han sido fruto de una intuición de mentes preparadas para analizar, interpretar y desarrollar fenómenos que a otros pudiesen parecerles banales o intranscendentes. Y Leonardo poseía esa prodigiosa intuición.

Leonardo consideró la ciencia desde un aspecto fundamentalmente visual. Desde este punto de vista, intentó geometrizar los objetos, para así poder explicar, con un lenguaje matemático, todos los fenómenos naturales. Todo lo observa, lo analiza, lo experimenta, siempre que ello le fuera posible, cambia los datos, los modelos, las situaciones, etc. Creía que todos los sucesos fisicos se podían estudiar con modelos y, por tanto, construye infinidad de ellos: desde el de la aorta con sus válvulas, para así poder comprender mejor la corriente sanguínea, hasta el del mar Mediterráneo en miniatura, en el que estudia y analiza las corrientes de los ríos que desembocan en él, utilizando para ello movimientos de partículas, tales como polvos o manchas de tinta. Sin saberlo, estaba profundizando en el estudio de trayectorias de partículas, que tanta importancia han tenido en los siglos posteriores y sobre todo en la actualidad. En sus obras pictóricas y escultóricas, los dibujos y las superficies ya poseen una precisión científica y una perspectiva inigualables.

Leonardo divide la geometría en tres partes:

1. De visión, mediante la que intenta explicar geométricamente los fenómenos ópticos, utilizando para ello fundamentalmente los cuerpos piramidales y la perspectiva, de la que era un gran conocedor.
2. De la naturaleza, con la que intenta construir los modelos que le permitan explicar las situaciones que observa en física, mecánica, aerostática, astronomía, etc., ya que considera que los fenómenos naturales se mueven impulsados por relaciones matemáticas sujetas a modelos geométricos.
3. Geometría pura, en la que aborda alguno de los problemas geométricos que preocupaban en aquel momento; en particular, el de la cuadratura del círculo.

Poseía una mente dotada de gran espíritu interdisciplinario. Cuando construye un modelo, una máquina o una teoría no lo hace en función de dicho objeto, siempre existirá una razón natural que le habrá impulsado a ello. Así, por ejemplo, profundiza en el estudio de la mecánica para poder aplicarla, entre otras situaciones, a explicar las fuerzas musculares. Uno de los grandes sueños de toda su vida, que no pudo ver realizado, fue el de que a semejanza de los pájaros, otros cuerpos más pesados que el aire pudiesen volar. También en este caso, todos sus intentos estuvieron basados en diseños y modelos construidos utilizando la geometría.

Desde el punto de vista de la geometría pura, estudia y complementa las obras de Euclides y Arquímedes, entre otros. A través de sus códices conocidos, nos han llegado algunos dibujos de un gran interés. Analiza y estudia de una forma exhaustiva los centros de gravedad de las figuras geométricas. Merece especial atención el estudio que hace de las transformaciones de unas figuras en otras conservando el mismo volumen; así como el incipiente estudio empírico de superficies curvas. Sus métodos son siempre originales, artificiosos, laboriosos y a veces inconclusos, como una gran parte de su obra, ya que frecuentemente era inconstante en su trabajo. Quizás ello fuese debido al gran número de ocupaciones que tenía siempre.

Durante una estancia suya en Milán colaboró con el matemático Luca Pacioli en su obra "Divina proportione". Leonardo dibujó además las figuras del primer libro de esta obra. Su admiración por las matemáticas era tan grande que llegó a escribir: «No existe ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas».

Analizando en profundidad toda su obra, se puede considerar a Leonardo da Vinci como el ingeniero y pintor, así le llamaban en la corte de Ludovico el Moro, y como a aquél que ha contribuido poderosamente al desarrollo de la civilización con las diversas y fructíferas aportaciones tanto de carácter artístico como científico que hizo a la humanidad. Quizás podamos afirmar, sin temor a equivocarnos, que Leonardo vivió en una época que no le correspondía, puesto que se adelantó en varios siglos a la suya.

Se dibuja un ángulo cualquiera. Se marcan divisiones iguales en cada uno de los dos lados, numeradas, empezando en ambos casos por el vértice. Se unen los puntos cuyos valores suma una constante, por ejemplo 11, (se puede hacer con cualquier otro número). La envolvente de las rectas obtenidas es una parábola.

Su correspondencia con el matemático Fermat sobre el juego de los dados dio origen a la teoría del cálculo de probabilidades.

A él se debe el triángulo aritmético o triángulo de Pascal, asi como numerosos descubrimientos en Física.

Las primeras civilizaciones indoeuropeas ya tenían conciencia de que el área del círculo es proporcional al cuadrado de su radio, y de que su circunferencia lo es al diámetro. Sin embargo no se sabe cuándo se comprendió por vez primera que ambas razones son la misma constante, simbolizada en nuestros días por la letra griega pi. El símbolo del que toma nombre la constante lo introdujo en 1706 el escritor y matemático inglés William Jones y lo popularizó el matemático suizo Leonhard Euler (v.) en el siglo XVIII. Arquímedes de Siracusa (v.), el mayor matemático de la antigüedad, estableció rigurosamente la equivalencia de ambas razones en su tratado "Medición de un circulo". Usando polígonos de 96 lados inscritos (idea de Antífono) y circunscritos (idea de Brisón de Heraclea) (¡y sin conocer las funciones trigonométricas!), llegó a la conclusión de que 3¹⁰/₇₁<pi<3¹⁰/₇₀ y dedujo un laborioso procedimiento para calcular pi con cualquier precisión. Todos los intentos de calcular el número pi realizados en Europa hasta mediados del siglo XVII se fundaron de un modo u otro en el método de Arquímedes. Ludolph van Ceulen, matemático holandés del siglo XVI, dedicó gran parte de su carrera al cálculo de pi. Casi al final de su vida obtuvo una aproximación de 32 cifras, calculando el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos de 2⁶² (unos 10¹⁸) lados. Se dice que el valor de pi que obtuvo así, denominado número ludolfiano en ciertas regiones de Europa, fue su epitafio.

Los que investigando la cuadratura del círculo creyeron haber descubierto un valor exacto de pi forman legión; ninguno de ellos aventajó al filósofo inglés Thomas Hobbes en capacidad para combinar con un elevado pensamiento la más profunda ignorancia. En la época de Hobbes no se les enseñaban las matemáticas a los ingleses cultivados, y éste había ya cumplido los cuarenta cuando por vez primera ojeó los textos de Euclides. Al llegar al teorema de Pitágoras exclamó asombrado: «¡Por Dios! ¡Esto es imposible!», tras de lo cual retrocedió y rehizo paso a paso toda la demostración hasta quedar plenamente convencido. Durante el resto de su vida se entregó a la geometría con el ardor de un enamorado. «La geometría tiene algo que la asemeja al vino», escribiría posteriormente, y se dice que, a falta de superficies más adecuadas, solía dibujar figuras geométricas en la ropa de su cama. Si Hobbes se hubiera contentado con ser un matemático aficionado, un amateur, hubieran sido más tranquilos los años de su vejez; pero su monstruoso egotismo le indujo a creerse dotado para realizar grandes descubrimientos en matemáticas. En 1655, a los sesenta y siete años de edad, se lanzó a publicar un libro en latín titulado "De corpore" (Sobre los cuerpos), en el que figuraba un ingenioso método para cuadrar el círculo. En realidad, el método no era más que una excelente aproximación, pero Hobbes estaba convencido de su exactitud. John Wallis, un distinguido matemático y criptógrafo inglés, escribió entonces un folleto poniendo en evidencia los errores de Hobbes, y de este modo comenzó uno de los más largos, divertidos y estériles duelos verbales que jamás hayan librado dos espíritus selectos. Durante casi un cuarto de siglo, ambos contendientes se dirigieron los más hábiles sarcasmos y las más aceradas invectivas. Wallis mantuvo la disputa, en parte por propia diversión, pero principalmente porque veía en ella un modo de ridiculizar a Hobbes, creando al mismo tiempo la duda acerca de sus opiniones políticas y religiosas, que Wallis detestaba. Hobbes respondió al primer ataque de Wallis haciendo reimprimir su libro en inglés e incluyendo un ultílogo titulado "Six Lessons to the Professors of Mathematics"... (Seis lecciones para profesores de matemáticas...) (Confío en que el lector sabrá disculpar que abrevie los interminables títulos de las obras del siglo XVII.) Wallis replicó con "Due Correction for Mr. Hobbes in School Discipline for not saying his Lessons right" (Castigo escolar impuesto al señor Hobbes por no dar debidamente sus lecciones). Hobbes contraatacó entonces con "Marks of the Absurd Geometry, Rural Language, Scottish Church Politics, and Barbarisms of John Wallis" (Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la Iglesia escocesa y otros barbarismos de John Wallis). Wallis devolvió el fuego con "Hobbiani Puncto Dispunctio! or the Undoing of Mr. Hobbes' Points" (Hobbiani Puncto Dispunctio! o La refutación de los puntos del Sr. Hobbes). Algunos panfletos más tarde (mientras tanto, Hobbes había publicado anónimamente en París un absurdo método de duplicación del cubo), Hobbes escribía: «O bien sólo yo estoy loco, o ellos (los profesores de matemáticas) han perdido por completo el juicio: no podemos, pues, aceptar una tercera opinión, a menos que aceptemos que todos estamos locos.» «La refutación está de más —fue la respuesta de Wallis—. Pues si él está loco, seguramente no atenderá a razones; por otra parte, si somos nosotros los locos, tampoco nos encontraremos en condiciones de intentar convencerle.» Con treguas momentáneas, la batalla prosiguió hasta la muerte de Hobbes, ocurrida a los noventa y un años. En uno de sus últimos ataques contra Wallis, Hobbes, que era efectivamente muy tímido en su relación con los demás, escribió: «El Sr. Hobbes jamás ha intentado provocar a nadie; pero quien le provoque descubrirá que su pluma es al menos tan hiriente como la suya. Todos vuestros escritos no son sino errores o sarcasmos; esto es, nauseabundos flatos, hedores de mulo viejo cinchado en exceso tras un hartazgo. Yo he cumplido. Os he tenido en consideración por esta vez, pero no lo repetiré...» . No es éste el lugar indicado para explicar con detalle lo que Wallis denominaba «la curiosa incapacidad del señor Hobbes para aprender lo que no sabe». En conjunto, Hobbes publicó alrededor de una docena de métodos diferentes para cuadrar el círculo. Una de las mayores dificultades que debió afrontar el filósofo fue su incapacidad para concebir que, considerados en abstracto, los puntos, las líneas y las superficies pudieran tener menos de tres dimensiones. En "Quarrels of Authors" (Autores en disputa), Isaac Disraeli escribe: «A pesar de todos los razonamientos de todos los geómetras que le rodeaban, parece ser que descendió a su tumba con la firme convicción de que las superficies tenían tanto extensión como profundidad.» Hobbes constituye un caso clásico de hombre de genio que se aventura en exceso por una rama de la Ciencia sin poseer la preparación necesaria, y que disipa sus prodigiosas facultades en vacuidades pseudocientíficas.

Parientes próximos de quienes se esforzaron en realizar la cuadratura del círculo fueron los computadores de pi, hombres que dedicaron años a la tarea de ir determinando cada vez más cifras decimales del número pi. Evidentemente, el único procedimiento para ello es emplear algún algoritmo infinito que converja hacia pi. El propio Wallis descubrió en 1665 uno de los más sencillos. El desarrollo del cálculo diferencial, obra en gran parte de Isaac Newton (v.) y Gottfried Wilhelm Leibniz (v.), permitió calcular pi de forma mucho más expedita. El propio Newton calculó pi con 15 decimales sumando unos cuantos términos de una serie, y posteriormente confesó "Me da vergüenza confesar a cuántas cifras llevé esos cálculos, que realicé por no tener otra cosa que hacer en aquel momento". En 1674 Leibnitz dedujo su fórmula de convergencia exasperantemente lenta, sobre un desarrollo del arco tangente descubierto por el escocés James Gregory. En 1706, John Machin descubrió su fórmula ,con la que pudo calcular los 100 primeros decimales de pi. En 1844, Johann Dase, calculador mental prodigioso capaz de multiplicar de memoria dos números de 100 cifras en 8 horas, calculó en cosa de unos meses 205 cifras de pi basándose en una variante de la fórmula de Machin.

El más constante entre todos los que se dedicaron al computo de pi fue el matemático inglés William Shanks. Trabajando durante veinte años obtuvo 707 decimales en 1853. Desdichadamente, el pobre Shanks cometió un error en el 528° decimal, y a partir de él todos los restantes están mal. (El error no fue descubierto hasta 1945, 92 años después, y los 707 decimales de Shanks figuran todavía en muchos textos.) En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC durante setenta horas de máquina con el objeto de calcular las primeras 2037 cifras decimales de pi; posteriormente otra computadora invirtió tan sólo trece minutos en las primeras 3.000. Para 1959, una computadora emplazada en Inglaterra y otra en Francia habían rebasado la cota de las primeras 10.000. El millón de cifras fue logrado por Jean Guilloud y M. Bouyer en un día con una CDC 7600. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la NASA con un algoritmo de Ramanujan (v.) de convergencia cuártica (cuadruplicación del número de cifras en cada iteración). En 1987, centenario del nacimiento de Ramanujan (v.), Kanada consiguió más de 100 millones de cifras, y se podrían conseguir fácilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En su libro "The Lore of Large Numbers", Philip J. Davis escribe "El misterioso y maravilloso número pi se ha visto reducido a un gargarismo con el que las máquinas de calcular se aclaran la garganta".

Los sabios de la antigüedad griega utilizaron sus conocimientos sobre circunferencias y esferas para crear un modelo matemático que describiera los movimientos de las estrellas y de los planetas. Pitágoras suponía que las estrellas estaban fijadas a una esfera de cristal que daba diariamente una vuelta sobre sí misma en torno a un eje que pasaba a través de la Tierra y que los siete planetas -Sol, Luna, Mercurio, Marte, Júpiter, Venus y Saturno- estaban cada uno anclado a su propia esfera móvil. Esta idea, que se convertiría en la teoría del movimiento de los cuerpos celestes, fue el fundamento de la astronomía hasta el siglo XVI.

Pitágoras nació en la isla de Samos y conoció a Thales, quién le animó a desplazarse hasta Egipto para estudiar matemáticas. Viajó por Egipto durante varios años y allí adquirió una sólida formación mística y religiosa. De vuelta a Samos fundó una sociedad religiosa y filosófica. Por razones políticas, abandona Grecia y se instala, con su escuela, en Crotona, al sur de Italia. La sociedad que fundó tenía un régimen muy estricto y un rígido código de conducta. Superado un período de prueba, se permitía a los iniciados en la secta oír al maestro, oculto tras una cortina. Años más tarde se les permitiría ver a Pitágoras directamente. Los pitagóricos creían que, merced a las matemáticas, su espíritu podría ascender a través de las esferas celestiales hacia un mundo mejor.

Son muchos los resultados matemáticos atribuidos a esta secta, pero entre ellos destaca el teorema de Pitágoras, el cual todos hemos estudiado en la geometría elemental. Como una consecuencia natural de este teorema, los pitagóricos descubren los números irracionales; por ejemplo, el número raíz de 2 existe, ya que es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de lado 1. El descubrimiento de estos nuevos números desestabilizó totalmente sus antiguas concepciones. Cuenta la leyenda que, en un principio, intentaron mantener oculta una verdad tan ingrata incluso que su descubridor, Hipaso de Metaponto, fue arrojado al mar durante un viaje. Quizás por primera vez en la historia de la ciencia, el pensamiento abstracto había conducido inexorablemente a una conclusión que reducía a añicos las creencias de todos.

Muchas fueron las suspicacias que levantaron el carácter secreto de la sociedad pitagórica y sus rituales místicos, que se decía había importado de Egipto. Hacia el año 500 aC, Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento y después a Metaponto, donde fue asesinado. Sus seguidores continuaron sus enseñanzas en diversos lugares aproximadamente durante un siglo.

Los pitagóricos estaban convencidos de que la clave para la comprensión del orden del universo se encerraba en los números, que para ellos se reducían al conjunto de los enteros positivos. Pitágoras había descubierto una notable relación entre los números y la música. Al pulsar la cuerda tensa de una guitarra se emite un sonido musical y la altura de la nota producida depende de la longitud de la cuerda pulsada. La sorprendente aportación de Pitágoras consistió en relacionar los tonos de los sonidos con razones de números enteros. Los pitagóricos llegaron a la conclusión de que todas las relaciones de la naturaleza eran expresables mediante relaciones de números.

La otra matemática, la de los «mercaderes y traficantes que la cultivan con la vista puesta en las compras y las ventas» era considerada como una herramienta para los trabajos manuales, ajena a los centros académicos y a la filosofía. Estos dos aspectos conocidos actualmente como matemática pura y matemátíca aplicada, estuvieron bien delimitados en los primeros tiempos, pero más tarde se fueron interrelacionando y sus fronteras se volvieron cada vez más borrosas, hasta el momento actual, en el que las matemáticas forman una unidad.

Se dice que Platón propuso a sus discípulos explicar el movimiento de los cuerpos celestes mediante una combinación de diversos movimientos circulares y esféricos. Consideraba a la astronomía un simple juego de los geómetras, para quienes era fuente de interesantes problemas. Los griegos conocían los irregulares movimientos del Sol y de los planetas, aunque no podían explicarlos de una manera sencilla. Apolonio propuso que las órbitas celestes deberían ser descritas mediante la combinación de movimientos circulares. Del desarrollo de esta teoría se encargó Hiparco, el más grande astrónomo de la antigüedad. Su obra nos es conocida merced a la célebre colección "Matemática" escrita por Ptolomeo en la que se completaba el sistema ptolemeico o geocéntrico.

No es sorprendente que los astrónomos griegos situaran en el centro de nuestro universo a la Tierra y no al Sol, ya que lo que nosotros observamos es el movimiento del Sol alrededor de nuestro planeta. Sin embargo, ya en el siglo II antes de Cristo, Aristarco enseñaba que la Tierra y los demás planetas describían órbitas circulares en torno a un Sol fijo; esto es, el sistema heliocéntrico. Fueron varias las razones por las que sus hipótesis no fueron aceptadas. Entre otras, cabe señalar que los griegos no sabían y, en consecuencia, no podían explicar, cómo los objetos podían permanecer estables sobre la Tierra si ésta se movía, y por qué las nubes no quedaban rezagadas. Estos mismos argumentos volverían a ser utilizados casi dos mil años mas tarde cuando Copérnico propuso de nuevo la teoría del heliocentrismo.

El gusto exclusivo de Platón por las matemáticas puras perjudicó, sin duda, a las matemáticas aplicadas o prácticas. También debemos tener en cuenta que en esa época no se disponía de un sistema de numeración y cálculo manejable, ni de aparatos de observación y precisión con suficiente sensibilidad. Casi con seguridad, en el caso de que Platón y sus discípulos dispusiesen de ellos, se hubieran interesado por aplicaciones prácticas que de este modo les pasaron inadvertidas.

Creía que el Sol, la Luna y los planetas giraban en torno a la Tierra. A pesar de todo, su concepción del sistema solar se mantuvo durante catorce siglos. Pese a que el punto de partida del sistema tolemaico era equivocado, sus observaciones permitían conocer con relativa antelación y exactitud la posición de los planetas.

Muchos matemáticos de renombre habían estudiado qué construcciones son posibles con instrumentos tan sencillos como la regla sola, la recta provista de dos puntos marcados sobre ella, la regla de dos bordes rectos paralelos, la «regla» con dos bordes rectos perpendiculares (escuadra) o bajo otros ángulos, etc. Así las cosas, en 1794 el geómetra italiano Lorenzo Mascheroni dejó maravillado al mundo matemático al publicar su "Geometria del Compasso", donde demostraba que toda construcción realizable con regla y compás puede efectuarse con exclusivamente un compás móvil. Como es imposible dibujar líneas rectas con sólo un compás, es preciso admitir que dos puntos, obtenidos por interseccion de arcos, definen una recta. Todavía hoy se llaman construcciones de Mascheroni a las realizadas exclusivamente con el compás, a pesar de que en 1928 se descubrió que Mohr había demostrado el mismo teorema en una oscura obrita, "Euclides Danicus", publicada en 1672 en ediciones danesa y holandesa. Un estudiante danés dio con el libro en una librería de Copenhague, y se lo mostró a su profesor, Johannes Hjelmslev, de la Universidad de Copenhague, quien inmediatamente comprendió la importancia del descubrimiento. Hjelmslev la publicó en edición facsímil, acompañada de una traducción al alemán, el mismo año de 1928.

Para comprender el asunto debemos conocer las vicisitudes del Calendario Gregoriano que es por el que se rige "la cristiandad". El calendario actual se comenzó a conocer oficialmente a partir del año de Roma de 1286, correspondiente al año 532 después de Cristo. En ese año, un monje escita llamado Dionisio el Breve, propuso a la Iglesia que, dado el tiempo transcurrido desde la desaparición del Imperio Romano, los años fueran contados a partir del 1° de enero siguiente al nacimiento de Jesús. De esta forma, el primer año de la Era Cristiana fue denominado oficialmente como "Año uno". Desde nuestra lógica contemporánea, el año de nacimiento de Cristo debió denominarse "Año cero" pero, al no hacerse así, se saltó del año 1 antes de Cristo (el año -1) al año 1 después de Cristo.

Por otra parte, Gregorio XIII, 1050 años después de que se comenzó a contar de nuevo desde 1, corrigió el retardo de 10 días que se fue acumulando desde el año 45 antes de Cristo, cuando los romanos pusieron el calendario juliano (Julio César). Así en 1582, al jueves 4 de octubre le siguió el viernes 15 de octubre. El calendario Gregoriano también tiene un error, solo que éste es de 25 segundos por siglo, con lo que en el año 4317 ya habrá un día de retraso que ajustar.

Con frecuencia los nombres primitivos de los números eran idénticos a los de partes del cuerpo, como dedos de las manos y de los pies, u otras. Aun hoy, cuando hablamos de los «dígitos» refiriéndonos a los números de 0 a 9, estamos dando testimonio de este hecho, pues «dígito» deriva del latín «dígitus», dedo. Hay excepciones graciosas. El nombre maorí del cuatro es «perro», al parecer, por tener éstos otras tantas patas. Entre los Abípones, una tribu sudamericana hoy extinguida, el nombre del cuatro significaba «los dedos del ñandú», tres delante y uno atrás. Extremadamente raros fueron los sistemas de numeración de bases 6 a 9. Según parece, una vez que se vio la necesidad de dar nombre a los números mayores que cinco, se pasó de una mano a otra, y se adoptó el sistema de base 10. Los antiguos chinos usaron ya la base 10, lo mismo que egipcios, griegos y romanos. Una de las curiosidades de la antigua matemática fue el sistema sexagesimal (de base 60), que los babilonios adoptaron de los sumerios, y con el cual alcanzaron adelantos muy notables. (Nuestras formas actuales de expresar tiempos y ángulos son reliquias del sistema babilónico.) Hoy, el sistema de base 10 es casi universal en todo el mundo, incluso en tribus primitivas. En el primer capítulo de su "History of Mathematics", cuya primera edición data de 1925, David Eugene Smith da cuenta de un estudio en 70 tribus africanas que revela que todas ellas utilizaban el sistema de base 10.

Superado el 5, muy pocos sistemas de numeración han tenido por base números primos. En "A Short Account of the History of Mathematics" (cuarta edición, 1908), W. 51. Rouse Ball cita tan sólo el sistema de base 7 de los Bolas, una tribu del Africa occidental, y el sistema de base 11 de los primitivos Maoríes, aunque no puede certificar la exactitud de estas afirmaciones. Los sistemas vigesimales (de base 20; dedos de manos y pies) fueron cosa corriente. El ejemplo Maya es tal vez el más sobresaliente. Por valerse ya del cero y del principio de notación posicional (las cifras tienen distinto valor según el lugar que ocupan), fue uno de los más perfectos de los antiguos sistemas de numeración, muy superior, desde luego, al torpón sistema romano. (Esta afirmación saca de quicio a los convencidos del relativismo cultural, pues propone un juicio de valor que se salta a la torera fronteras culturales.) Todavía pervive el sistema de base 20 en idiomas como el francés (donde 80 se llama quatre-vingts), o el inglés (donde 80 puede llamarse también fourscore), y muy particularmente en el danés, donde los nombres de los números están basados en una curiosa combinación de los sistemas decimal y vigesimal. La evidente relación de 5 y 10, que fueron las bases de numeración más habituales de la antigüedad, con los dedos de una o las dos manos, ha sugerido a muchos autores de ciencia ficción basar los sistemas de numeración de sus humanoides extraterrestres en el número de dedos que posean. (Es de suponer que en la cultura de dibujos animados creada por Walt Disney se utilizan sistemas de bases 4 u 8, pues sus personajes tienen sólo cuatro dedos en cada mano.) Ahora que el sistema decimal está tan universalmente establecido, no parece caber la posibilidad de que la raza humana se convierta a otro sistema de numeración, a pesar de que el sistema duodecimal (de base 12) sí presenta algunas ventajas prácticas, por tener su base cuatro divisores, frente a los dos que tiene la base decimal. Durante siglos el sistema duodecimal ha tenido sus entusiastas. Por otra parte, al tomar como base números primos, como 7 ú 11, se disfruta de ciertas ventajas técnicas, que ya defendió en el siglo XVIII el matemático francés Joseph Louis Lagrange, si bien tales ventajas alcanzarían solamente a los especialistas en teoría de números, y a pocos más. Muchos matemáticos han abogado por el empleo de bases que fueran potencia de 2, como 8 ó 16. «Como no cabe duda de que nuestros antepasados dieron nacimiento al sistema decimal usando los dedos para contar», escribía W. Woolsey Johnson en el Bulletin of the New York Mathematical Society (octubre de 1891, p. 6) «debemos lamentar profundamente, vistos los méritos del sistema octonario, que incurrieran en la perversión de contar entre los dedos a los pulgares, no obstante haberlos diferenciado la naturaleza lo suficiente—o así debió pensarlo— para salvar de tal error a nuestra raza». Donald E. Knuth ha descubierto que, en 1718, Emanuel Swedenborg escribió un tratado de título "Un nuevo método de cálculo que pasa cuenta en 8 en lugar de en 10, como es costumbre", traducido al inglés por Alfred Acton y publicado por la Swedenborg Scientific Society, de Filadelfia, en 1941. Swedenborg da una nueva nomenclatura para los dígitos, y concluye: «Si la práctica de este uso y el uso de esta práctica llegan a dar su aprobación, imagino que el mundo culto obtendrá ganancias increíbles de este cálculo octonario». Por cierto, que recientemente se ha descubierto que los cuervos son capaces de contar hasta 7. Véase «The Brain of Birds», por Laurence Jay Stettner y Kenneth A. Matyniak, en Scientific American, junio de 1968. Los modernos ordenadores han venido desde muy atrás empleando aritmética octal (de base 8); más recientemente, la aritmética «hexadecimal» de base 16, cuyos dígitos se llaman 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, ha llegado a ser parte importante de los ordenadores.

Al igual que entre las sociedades primitivas hubo diversidad en la elección de base de numeración, también fueron diversas las formas en que resolvieron el problema de contar. Como la mayoría de la gente es diestra, por lo común la cuenta comenzaba por la mano izquierda, en ocasiones siguiendo formas rituales e invariables. En las Islas Andaman, en el golfo de Bengala, la gente comenzaba por el meñique, e iba tocándose la nariz con los dedos sucesivos. En una isla del estrecho de Torres, entre Australia y Nueva Guinea, se contaba hasta cinco tocándose los dedos de la mano izquierda, pero en lugar de seguir después con la derecha se iban tocando la muñeca izquierda, el codo izquierdo, el hombro y el pezón del mismo lado, y el esternón. Para proseguir el recuento, invertían este orden hacia el lado derecho del cuerpo. Los matemáticos se han empeñado en destacar que cuando al contar se van tocando sucesivamente los dedos u otras partes del cuerpo, se está manejando el concepto de número ordinal (primero, segundo, tercero, etc.), mientras que al sacar varios dedos de un golpe, como al expresar, por ejemplo, cuatro ranas, se está manejando el concepto de número cardinal (uno, dos, tres, etc.) de un conjunto. Los antiguos griegos tenían un simbolismo manual muy elaborado para contar desde uno hasta números superiores al millar. Aunque Herodoto lo menciona, poco sabemos de las posiciones de los dedos. Los antiguos chinos y otros pueblos y culturas orientales tenían símbolos dactilares de parecida complejidad, empleados todavía para regatear en los bazares, pues el número expresado puede quedar oculto a los mirones por los pliegues de la ropa. El método romano para expresar números con las manos es mencionado por muchos autores latinos. En el siglo VIII, Beda el Venerable dedicó el primer capítulo de un tratado en latín, "El recuento de los tiempos" (para calcular, entre otras fechas, la Pascua) a un sistema romano de símbolos dactilares que él amplió hasta un millón. (El símbolo de un millón es el apretón de ambas manos.) Casi todos los manuales de aritmética de los períodos medieval y renacentista daban cuenta de tales métodos.

Aunque los egipcios emplearon el sistema duodecimal en la subdivisión del año (en 12 meses, correspondientes a sus doce dioses principales) y del día (en 12 horas de claridad y 12 de tinieblas), su numeración era decimal y contaba con signos jeroglíficos para las cifras del uno al diez y para cien, mil, diez mil, cien mil y un millón. Los signos para los números no dígitos se forman por yuxtaposición de los básicos, pues no conocieron la notación posicional y el cero. En sus tratados de matemáticas (de los que el más importante es el "papiro de Rhind"), exponen problemas de aritmética y geometría que se refieren a cálculos de contabilidad, cambios mercantiles, mediciones de campos, capacidad de graneros, cantidad de materiales para construcciones de formas geométricas determinadas, etc. Las operaciones de suma y resta se efectúan con base en simples tablas de adición y sustracción de números dígitos, y para multiplicar y dividir utilizaban métodos de sumas sucesivas y comparación.

Los egipcios utilizaban las fracciones, aunque en su simbolismo se concretaban a yuxtaponer los signos correspondientes a un número quebrado simple. Ejemplo: 1/5+1/5+l/5 en vez de 3/5, etc. No obstante, tenían signos especiales para 1/2, 2/3 y 3/4.

Aunque sus nociones geométricas eran teóricamente rudimentarias, en sus aplicaciones prácticas resultaban técnicamente muy hábiles, como lo comprueban sus cálculos de superficies de terrenos con base en las propiedades de triángulos, rectángulos, trapecios y formas piramidales. Además, aplicaron también con éxito notable la Geometría a sus observaciones astronómicas y en la construción de artefactos hidráulicos para la medición del tiempo.

El pensamiento griego consideró más la esencia y atributos de los números que su representación con un sistema gráfico idóneo para expresar con facilidad las diversas cantidades. Los símbolos numerales utilizados en Grecia correspondían a dos sistemas: el llamado "ático" (o de Herodiano) y el que se denomina "alfabético". El sistema ático es similar al romano; emplea básicamente seis símbolos literales, de los que cinco son las iniciales mayúsculas de los nombres de los números.

EI sistema alfabético ("decimal") griego hace uso de las 24 letras minúsculas del alfabeto griego regular, más tres adicionales (las antiguas stigma, koppa y sampi) para tener un total de 27, distinguiéndolas a todas como signos numerales mediante un trazo o marca superior. Las nueve primeras (de la alpha a la theta, intercalando la stigma en sexto lugar), representan las unidades simples; las siguientes nueve (de iota a kappa) expresan las decenas, y las nueve restantes, (de rho a sampi), las centenas. Para los millares. decenas y centenas de millar se utilizan marcas inferiores a la izquierda de las letras correspondientes.

El número 1 representa la razón, pues no admite división ni divergencias. También es el Fuego central del cosmos. El 2 simboliza la opinión porque admite divergencia, y es, así mismo, símbolo de la Tierra y la feminidad. El 3, la santidad, porque tiene principio, medio y fin. Además, representa también la masculinidad. El 4, la justicia, pues es un número cuadrado, producto del igual por el igual (2 x 2). El 5, el matrimonio, ya que es la suma del primer par (2, mujer) con el primer impar (3, varón). El 6, la reproducción, pues es el producto del primer par por el primer impar. El 7, la salud, la inteligencia y la luz o el Sol; marca los períodos de la vida como número perfecto: 7, 14, 21, 28, 35, etc. El 8, el amor, la amistad y la destreza. El 9, también la justicia, por ser producto de igual por igual (3 x 3). El 10 es el número sagrado y perfecto, pues es la suma de los cuatro primeros (1 + 2 + 3 + 4 = 10) y la de los cuatro elementos geométricos (1 = punto, 2 = línea, 3 = superficie, 4 = sólido). La síntesis de estas sumas es la tetraktýs, representación triangular de los números primordiales. Toda la aritmogeometría mística se conmovió cuando los mismos pitagóricos encontraron los números irracionales, que no son cociente exacto de dos enteros y, por tanto, resultan inconmensurables.

Obligados por su avanzada computación cronológica, los mayas crearon un notabilísimo sistema de numeración en que se utilizaba la notación posicional y el importante concepto de cero, aproximadamente mil años antes de la invención del sistema "arábigo" en la India y casi 2.000 años antes de que se empleara éste en Europa. La numeración maya es de base 20, pero solamente requiere tres signos: la "concha" (dibujo simplificado de una concha de caracol marino), que representa el cero, el "punto" (el 1), y la "raya" (el 5, probablemente derivado de cinco puntos tachados). La escritura es de abajo hacia arriba.

En el calendario maya, el año regular de 365 días se divide en 18 vicenarios, más un grupo de 5 días aciagos que se denominaban días "sin nombre" o "ponzoña" del año. También los 18 vicenarios tenían su nombre particular, y la designación de los 20 días se hacía con un nombre y un número antepuesto de una sucesión del 1 al 13, numeración que se repetía ininterrumpidamente como en el calendario mexica, a través de los "meses" siguientes. Estos tridenarios formaban en 13 "meses" un grupo de 20 periodos que constituían un ciclo de 260 días llamado tzolkín, en que no se repetía ninguna vez una denominación. Tal ciclo era un "año sagrado", con el que se llevaba la cuenta de los años de edad de una persona, del cual se tomaba el santo patrono según el día del nacimiento y que servía para las ceremonias religiosas. Los sacerdotes-astrónomos mayas efectuaban una corrección asombrosamente precisa para ajustar el calendario de 365 días por año regular, al correspondiente al año solar verdadero de 365^l/₄ días, ó 365.24 días. Tal corrección resultaba de 1/10.000 de día, unos 9 segundos, más exacta que la obtenida intercalando un día cada 4 años (en nuestro año bisiesto) y equivalente a un error de 1 día cada 374.440 años.

Los hindúes empezaron con nueve símbolos diferentes, uno por cada número del uno al nueve. Éstos han cambiado con el tiempo, pero llegaron a Europa en su forma actual en el siglo XVI y ahora se escriben 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Esto, en sí mismo, no fue único. Los griegos y los hebreos, por ejemplo, usaron nueve símbolos diferentes para estos números. En cada caso, los símbolos eran las primeras nueve letras de sus alfabetos. Sin embargo, ambos pueblos continuaron con las siguientes nueve letras de sus alfabetos para designar los números diez, veinte, treinta y así sucesivamente, y con las nueve letras posteriores para los números cien, doscientos, trescientos, etc. Si el alfabeto era suficientemente grande para el objeto (se requieren veintiocho letras para llegar a mil por medio de este sistema), se agregaban letras arcaicas o letras de forma especial. El uso de letras por números dio lugar a confusión con las palabras. Por ejemplo, el número hebreo "quince" hacía uso de dos letras con las cuales empezaba el nombre de Dios (en lenguaje hebreo), por cuyo motivo fue necesario usar otra combinación de letras. Por otro lado, las palabras ordinarias podían ser convertidas en números, sumando el valor numérico de las letras que las componían. Esto se hacía especialmente para las palabras y los nombres de la Biblia (un proceso llamado "gematría") y mediante el mismo se leían toda clase de significados místicos y ocultos. El ejemplo más famoso y familiar es el pasaje, en la Revelación de San Juan, donde el número de "bestias" se da como seiscientas sesenta y seis. Esto indudablemente significaba que alguna cifra contemporánea, la cual era peligroso mencionar abiertamente (probablemente se refería al emperador romano Nerón), tenía un nombre que en letras hebreas o griegas sumaba esa cifra. Sin embargo, desde entonces la gente ha estado tratando de colocar los nombres de sus enemigos dentro de esa suma.

Donde los hindúes mejoraron el sistema griego y el hebreo fue en el uso de las mismas nueve cifras para las decenas, centenas, millares y, en verdad, para cualquier barrote o alambre del ábaco. De esas nueve cifras derivaron los hindúes todos los números; todo lo que se necesitó fue dar a las cifras su valor de posición. La gran innovación hindú fue la invención de un símbolo especial para una hilera intacta del ábaco. A este símbolo los árabes lo llamaron "sifr" que significa "vacío". Esta palabra ha llegado hasta nosotros como una "cifra" o, en forma más corrompida, como "cero".

Frecuentemente, estas competiciones eran públicas, como lo fue una, realmente espectacular, que tuvo lugar en Milán en 1548 entre Ferrari y Tartaglia, y que fue presenciada por numerosos expertos y curiosos. La mayoría de los problemas que se proponían en estas competiciones estaban vinculados a las ecuaciones de tercer grado. Estos torneos matemáticos son un ejemplo de una pasión común a todos los creadores ya que, como decía Rey Pastor en 1932: «un sabio sin vocación apasionada, incapaz de sentir el latido heroico que acompaña a toda creación, es un alma en pena, como un sacerdote sin fe».

Se concede a Thales el mérito de la invención de la demostración matemática rigurosa. Sea verdad o no, no cabe duda de que los griegos sabían que una proposición matemática era verdadera si había sido demostrada. Thales de Mileto era mercader y probablemente había viajado por Egipto, donde había entrado en contacto con escribas y calculistas de la época, de los que aprendió matemáticas, con sus realizaciones prácticas y sus vinculaciones con la astronomía, la religión y la magia. Los egipcios tenían razones prácticas para desarrollar fórmulas geométricas exactas: debían medir sus tierras regularmente, porque la crecida anual del Nilo borraba casi todas las marcas limítrofes. Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

El último matemático amateur que recibió gran publicidad en los Estados Unidos por un método de trisecar fue el reverendo Jeremiah Joseph Callahan. Anunció que había resuelto el problema de la trisección en 1921, cuando ocupaba el puesto de presidente de la Universidad Duquesne de Pittsburgh. La agencia United Press lanzó una larga historia que había sido escrita por el propio Callahan. La revista Time publicó su fotografía junto con un artículo muy favorable en el que se comentaba lo revolucionario de su descubrimiento. (Ese mismo año publicó Callahan un libro de 310 páginas titulado "Euclides o Einstein", en el que demolía la teoría de la relatividad mediante la demostración del famoso postulado del paralelismo de Euclides. Se deducía así que la geometría no euclídea, sobre la que está basada la relatividad general, era absurda.) Los periodistas y el público profano mostraron su sorpresa al comprobar que los matemáticos profesionales, sin esperar a ver las construcciones del Padre Callahan, declararon inequívocamente que no podía ser correcta. Por último, a finales de año, la Universidad Duquesne publicó el opúsculo del Padre Callahan con el título "La trisección del ángulo".

El 3 de junio de 1960, el honorable Daniel K. Inouye, en aquel entornes representante por Hawai y más tarde senador y miembro del Comité de Investigación del Watergate, incluyó en el Congressional Record (Apéndice, páginas A4733-A4734) del 86.° Congreso, un largo tributo a Maurice Kidlel, un retratista de Honolulú que no solamente había trisecado el ángulo sino que además había conseguido la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo. Kidjel y Kenneth W. K. Young escribieron un libro sobre el tema, con el título de "The Two Hours that Shook the Mathematical World" (Las dos horas que conmovieron el mundo matemático), así como un opúsculo, "Challenging and Solving the Three Impossibles" [Desafío y resolución de los tres imposibles]. Vendían esta literatura, así como los calibres necesarios para emplear su sistema, a través de la compañía The Kidjel Ratio. Los dos dieron en 1959 conferencias sobre su trabajo en varias ciudades norteamericanas, y una cadena de televisión de San Francisco, la KPJX, hizo un informe documentado bajo el título The Riddle of the Ages. Según Inouye, «las soluciones de Kidjel se enseñan hoy en cientos de escuelas y colegios de todo Hawai, Estados Unidos y Canadá». Esperamos que la afirmación fuese exagerada. En un ejemplar del periódico Los Angeles Times, del domingo 6 de marzo de 1966 (Sección A, página 16), se ve cómo una persona de Hollywood había pagado un anuncio a dos columnas para dar a conocer, en 14 pasos, su procedimiento de trisecar ángulos.

Viète fue un importante algebrista. Tanto es asi que muchos consideran a Viète el padre del álgebra moderna porque fue el primero en utilizar letras para simbolizar las incógnitas y constantes en las ecuaciones algebraicas.