Sea S la sección del solenoide, y "landa" la corriente por unidad de longitud.
El dipolo magnético entre una longitud z y otra z+dz será:
El dipolo magnético en el punto z=0 crea un potencial:
Por tanto el potencial total será:
El potencial es singular (infinito) justo para dos ángulos: 0 y PI. Estos dos ángulos describen por tanto una recta donde el potencial no está definido. Esta recta se denomina cuerda de Dirac y desde el punto de vista teórico es un objeto singular.
Desde el punto de vista del potencial podemos hacer cualquier cálculo en cualquier punto que este fuera de la recta. Es como si fuera necesario quitar la recta para que el potencial tenga sentido. Si esta recta es (idealmente) infinita nuestro espacio inicial queda "partido" o "no conectado" de forma que nuestro espacio trivial se ha convertido en un espacio con topología no trivial o un espacio con carga topológica.
Cargas topológicas
En el punto z=0 de nuestro eje z del apartado anterior tenemos una carga magnética de (Lambda*S/c), esta es la carga atribuida a un monopolo magnético. Por esto los monopolos magnéticos, cuya existencia es predicha por nuestras teorías fundamentales están relacionados con cargas topológicas.
A continuación haremos algo un poco inusual: tomaremos nuestra carga magnética (nuestro monopolo magnético) y lo trasladaremos siguiendo un trayecto cerrado. Supongamos que tenemos un aparato que mide el trabajo realizado al desplazar la carga magnética. En ausencia de campos exteriores el medidor no cambia su lectura. A continuación, de forma similar al apartado anterior, vamos a transformar la "configuración topológica" de nuestro espacio. Para ello, introducimos un circuito eléctrico cerrado C2 que crea un campo electromagnético:
A continuación, pasamos cerca del circuito C2 pero el medidor sigue sin verse afectado. ¿Que sucede? Finalmente atravesamos la superficie C2 y el medidor aumenta una posición (que representa una cantidad fija de trabajo realizado). Da igual el camino que tomemos, lo largo que viajemos o lo cerca que estemos de C2 ¡ el medidor solo contará las veces que atravesamos la superficie C2 y siempre aumentará su valor en un número fijo!
La cantidad de veces que el monopolo (junto con su cuerda de Dirac) cruza la superficie S se denomina "winding number". Este número es un invariante topológico y como veremos, juega un papel muy importante en el modelo estándar.
Los infinitos vacíos del modelo estándar
Cuando la energía de nuestro Universo descendió por debajo de 246
GeV se produjo una ruptura espontanea de simetría mediada por el campo de Higgs. En ese momento el potencial del campo cayó desde la cima hasta un punto cualquiera del círculo de mínima energía:
Este punto "elegido" al azar no es único, de hecho la simetría gauge implica que puedo escoger cualquier otro punto del círculo ya que son físicamente equivalentes. Esto significa que no existe un solo vacío en la teoría sino que existen infinitos vacíos posibles. Esto puede representarse de la siguiente forma:
Sin embargo, al incluir en nuestra teoría los posibles efectos topológicos aparece una sutileza, un fenómeno "exótico": los distintos vacíos pueden tener diferente "winding number" es decir, diferente carga topológica. Esto es debido a que las características del vacío vienen dadas por la fase del campo de Higgs. Esta fase, al ser compleja puede ser cualquier múltiplo de 2PI, es decir, la fase compleja puede haber dado cualquier numero de veces una vuelta completa y por tanto puede tener cualquier "winding number" en diferentes puntos del estado de vacío. Por esto, nos encontramos con que tenemos un conjunto infinito de estados de vacío con diferente carga topológica.
Instantones