EL NUMERO DE LA NADA
Breve historia del cero
Babilonia
La primera cultura que introdujo un símbolo con el
significado de «ningún número aquí» fue la babilónica. La notación numérica
babilónica no usaba base 10, sino base 60. La primera aritmética de Babilonia
indicaba la ausencia de un término 602 con un espacio, pero alrededor de 300 a.
C. ya habían inventado un símbolo especial. Sin embargo, parece que
en Babilonia no habían pensado en este símbolo como un número por derecho
propio. Además, lo omitían si estaba al final del número, de modo que el
significado tenía que sacarse a partir del contexto.
India
La idea de la notación posicional de base 10 aparece en Lokavibhâga,
un texto sobre cosmología del jainismo que data de 458 d. C., el cual también
usa shunya (que significa «vacío»), donde nosotros usaríamos 0. En 498
d. C., el famoso matemático y astrónomo hindú Aryabhata describió la notación
posicional como «posición a posición incrementa 10 veces su valor». El primer
uso no controvertido de un símbolo específico para el dígito decimal 0 aparece
en el año 876 d. C. en una inscripción en el templo Chaturbhuja, Gwalior, y
adivina que: es un círculo pequeño.
Los mayas
La civilización maya de América Central, la cual alcanzó su
esplendor entre los años 250 y 900 d. C., empleó una notación de base 20 y
tenía un símbolo explícito para cero. Este método se remonta a mucho antes y se cree que fue
inventado por los olmecas (1500-400 a. C.). Los mayas hicieron un uso
considerable de los números en su sistema de calendario, un aspecto del cual se
conoce como «la Cuenta Larga». Este asigna una fecha a cada día contando
cuántos días han pasado desde una fecha de creación mítica, que sería el 11 de
agosto de 3114 a. C. en el actual calendario occidental. En este sistema un
símbolo para cero es esencial para evitar la ambigüedad.
¿Es el cero un número?
Antes del siglo IX d. C., el cero era visto como un símbolo
práctico para los cálculos numéricos, pero no se le consideraba un número
como tal. Probablemente, porque no contaba nada. Si alguien te pregunta cuántas manzanas tienes (y las tienes), las señalas de una
en una y cuentas «una, dos, tres...». Pero si no tienes manzanas, no señalas
una y dices «cero», pues no hay ninguna manzana que señalar. Como no puedes
obtener 0 contando, no resulta evidente que sea un número.
Si esta actitud parece extraña, merece la pena observar que, hace más tiempo
todavía, no se pensaba en «uno» como un número. Si tienes manzanas, seguramente
tengas más de una. Una distinción parecida puede todavía encontrarse en el
lenguaje moderno: la diferencia entre singular y plural. En la Grecia antigua
también tenían una forma «dual», con modificaciones específicas de palabras
usadas cuando hablaban de dos objetos. De modo que en ese sentido «dos» no se
consideraba un número como el resto. Otras cuantas lenguas clásicas hacían lo
mismo, y algunas de las modernas, como el escocés, el galés y el esloveno
todavía lo hacen. Quedan algunos rastros en el español como «ambos» para dos
cosas, pero «todo» para más.
A medida que se extendió el uso del cero como un símbolo y
los números se empleaban para otros propósitos distintos que contar, se hizo
evidente que en la mayoría de los aspectos el cero se comporta como cualquier
otro número. En el siglo IX, los matemáticos hindúes consideraban cero un
número como cualquier otro, no solo un símbolo usado como separación de otros
símbolos para que quedase más claro. Usaban el cero sin reservas en sus
operaciones diarias.
En la imagen de una recta numérica, en la que los números 1, 2, 3,... están
escritos en orden de izquierda a derecha, está claro dónde debe ir 0:
inmediatamente a la izquierda de 1. La razón es sencilla: sumando 1 a cualquier
número se mueve un paso hacia la derecha. Sumando 1 a 0 se mueve a 1, de modo
que 0 tiene que ir en el lugar en el que un paso a la derecha dé como resultado
1. Y esto es un paso a la izquierda de 1.
La aceptación de números negativos determinó el lugar del cero como un número
verdadero. Todo el mundo estaba contento con 3 siendo un número. Si aceptas que
–3 también es un número y que siempre que sumas dos números obtienes un número,
entonces 3 + (–3) tiene que ser un número. Y este número es 0.
Dije «en la mayoría de los aspectos, el cero se comporta
como cualquier otro número» porque en circunstancias excepcionales no lo hace.
Cero es especial. Tiene que serlo, porque es el único número que está
claramente atrapado entre los números positivos y los negativos.
Está claro que sumando 0 a cualquier número no cambia. Si tenemos tres manzanas
y sumamos ninguna manzana, seguimos teniendo tres manzanas. Ciertamente, hay
cálculos extraños como este:
Un gato tiene una cola.
Ningún gato tiene ocho colas.
Por lo tanto, sumando:
Un gato tiene nueve colas.
Pero este pequeño lío es un juego de palabras que usa dos
significados para «ningún». Esta propiedad especial del 0 implica que 0 + 0 =
0, lo cual nos dice que –0 = 0. Cero es su propio negativo. Es el único número
así. Esto sucede precisamente porque 0 está atrapado en la recta numérica entre
los números positivos y los negativos.
¿Qué ocurre con la multiplicación? Si tratamos la multiplicación como una suma
que se repite, entonces:
2 × 0 = 0
+ 0 = 0
3 × 0 = 0
+ 0 + 0 = 0
4 × 0 = 0
+ 0 + 0 + 0 = 0
De modo que
n × 0 = 0
para cualquier número n. Esto tiene sentido en las
transacciones financieras: si pongo tres cantidades de cero dinero en mi
cuenta, no he puesto ningún dinero en ella. De nuevo, cero es el único número
con esta propiedad especial. En aritmética, m × n y n × m
son lo mismo para todos los números m yn. Esta convención implica
que
0 × n
= 0
para cualquier n, a pesar de que no podemos sumar
«ninguna copia» de n consigo misma.
¿Qué ocurre con la división? Dividir cero entre un número distinto de cero es
sencillo: obtienes cero. La mitad de nada es nada. Pero cuando se trata de
dividir un número por cero, sale a relucir la naturaleza inusual del cero.
¿Cuánto es, por ejemplo, 1: 0? Definimos m: n como cualquier
número q que satisface que q × n = m. De modo que
1: 0 es cualquier número q que satisface que q × 0 = 1. Sin
embargo, no existe tal número. Para cualquier q que consideremos,
tenemos que q × 0 = 0. Nunca obtenemos 1.
El modo obvio de lidiar con esto es aceptarlo. La división entre cero está
prohibida porque no tiene sentido. Por otro lado, la gente solía pensar que 1:
2 tampoco tenía sentido, hasta que se introdujeron las fracciones, de modo que
quizá no deberíamos rendirnos tan fácilmente. Podríamos intentar introducir un
nuevo número que nos permita dividir por cero. El problema es que ese número
viola las reglas básicas de la aritmética. Por ejemplo, sabemos que 1 × 0 = 2 ×
0 ya que ambas son cero. Dividiendo ambos lados entre cero, tendríamos 1 = 2,
lo cual es tonto. Así que parece sensato no permitir la división entre cero.
Número de
la nada
El concepto más próximo a «nada» en matemáticas se da en
teoría de conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos matemáticos:
números, formas, funciones, redes... Se define haciendo una lista o
describiendo sus elementos. «El conjunto con los elementos 2, 4, 6, 8» y «el
conjunto de los enteros pares entre 1 y 9» definen el mismo conjunto, el cual
podemos formar enumerando sus elementos:
{2, 4, 6,
8}
donde las llaves indican el conjunto formado por lo que
contienen.
Hacia 1880, el matemático alemán Cantor desarrolló una extensa teoría de
conjuntos. Había estado intentando resolver algunos problemas técnicos en
análisis relacionados con discontinuidades, lugares donde una función de
repente da un salto. Su respuesta involucraba la estructura del conjunto de las
discontinuidades. No eran las discontinuidades individuales lo que importaba;
era todo el asunto. Lo que realmente interesaba a Cantor, debido a su conexión
con el análisis, eran los conjuntos infinitamente grandes. Hizo el espectacular
descubrimiento de que algunos infinitos son mayores que otros.
Otro matemático alemán, Frege, retomó las ideas de Cantor, pero estaba mucho
más interesado en conjuntos finitos. Pensaba que podía resolver el gran
problema filosófico de la naturaleza de los números. Reflexionó sobre cómo los
conjuntos se corresponden unos con otros; por ejemplo, emparejando tazas con
platos. Los siete días de la semana, los siete enanitos y los números del 1 al
7, todos se emparejan perfectamente, de modo que todos definen el mismo número.
¿Cuál de estos conjuntos debería representar el número siete? La respuesta de
Frege fue generalizada: todos. Definió un número como el conjunto de
todos los conjuntos que se emparejan con un conjunto dado. De ese modo ningún
conjunto es privilegiado y la elección es única en vez de ser una convención
arbitraria. Nuestros nombres y símbolos para los números son solo etiquetas
convencionales para estos gigantescos conjuntos. El número «siete» es el
conjunto de todos los conjuntos que se emparejan con los enanitos y esto
es lo mismo que el conjunto de todos los conjuntos que se emparejan con los
días de la semana o la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Es quizá superfluo señalar que aunque esto es una solución elegante del
problema conceptual, no constituye una notación razonable.
Cuando Frege presentó sus ideas en Leyes fundamentales de la aritmética,
un trabajo de dos volúmenes que se publicó en 1893 y 1903, parecía como si
hubiese resuelto el problema. Ahora todo el mundo sabía lo que era un número.
Pero justo antes de que el volumen II fuese a imprenta, Bertrand Russell
escribió una carta a Frege, la cual decía (y parafraseo): «Querido Gottlob:
considera el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos».
Como el barbero del pueblo que afeita a aquellos que no se afeitan solos, este
conjunto es contradictorio en sí mismo. La paradoja de Russell, como se conoce
ahora, reveló los peligros de asumir que conjuntos grandes de manera
generalizada existen.
Los lógicos matemáticos intentaron solucionar el problema. La respuesta resultó
ser justamente lo opuesto de la regla «pensar a lo grande» de Frege agrupando
todos los posibles conjuntos. En su lugar, el truco era seleccionar solo uno de
ellos. Para definir el número 2, construye un conjunto estándar con dos
elementos. Para definir 3, usa un conjunto estándar con tres elementos, y así
sucesivamente. La lógica aquí no es circular siempre y cuando construyas los
conjuntos primero, sin usar números de manera explícita, y asignes símbolos y
nombres numéricos para ellos después.
El principal problema era decidir qué conjuntos estándar usar. Tenían que estar
definidos de manera única y su estructura debía corresponderse con el proceso
de contar. La respuesta vino de un conjunto muy especial, el llamado «conjunto
vacío».
Cero es un número, la base de todo nuestro sistema numérico. Debería contar los
elementos de un conjunto. ¿Qué conjunto? Bien, tiene que ser un conjunto sin
elementos. No es difícil pensar en un conjunto así: «el conjunto de todos los
ratones que pesan más de 20 toneladas». Matemáticamente, hay un conjunto sin
elementos: el conjunto vacío. De nuevo no es difícil encontrar ejemplos: el
conjunto de todos los primos divisibles entre 4, o el conjunto de todos los
triángulos con cuatro vértices. Estos parecen diferentes, uno está formado por
números y el otro por triángulos, pero son el mismo conjunto, porque en
realidad no hay números o triángulos en él, de modo que no puedes decir cuál es
la diferencia. Todos los conjuntos vacíos tienen exactamente los mismos
elementos, en concreto, ninguno. Por lo tanto, el conjunto vacío es
único. Su símbolo, introducido por el grupo con el pseudónimo Bourbaki en 1939,
es Ø. La teoría de conjuntos necesita el Ø, por la misma razón que la
aritmética necesita el 0: todo es mucho más simple si se incluye.
De hecho, podemos definir el número 0 como el conjunto vacío.
¿Qué ocurre con el número 1? De modo intuitivo, necesitamos un conjunto con
exactamente un elemento. Algo único. Bien... el conjunto vacío es único. De
manera que definimos 1 como el conjunto cuyo único elemento es el conjunto
vacío, en símbolos: {Ø}. Esto no es lo mismo que el conjunto vacío, porque
tiene un elemento, mientras que el conjunto vacío no tiene ninguno. Se acuerda
que ese elemento sea el conjunto vacío, pero hay un elemento en él. Piensa en
un conjunto como una bolsa de papel que contiene a sus elementos. El conjunto
vacío es una bolsa de papel vacía. El conjunto cuyo único elemento es el
conjunto vacío es una bolsa de papel que contiene una bolsa de papel vacía.
¿Cuál es la diferencia? Tiene una bolsa en él.
El paso clave es definir el número 2. Necesitamos un
conjunto definido de manera única con dos miembros. Así que por qué no usar los
dos únicos conjuntos que hemos mencionado hasta ahora: Ø y {Ø}. De modo que
definimos 2 como el conjunto {Ø, {Ø}}. Lo cual, debido a nuestras definiciones,
es lo mismo que 0,1.
Surge un patrón general. Definimos 3 = 0, 1, 2, un conjunto con tres elementos,
los cuales ya hemos definido. Luego 4 = 0, 1, 2, 3 y 5 = 0, 1, 2, 3, 4, y así
sucesivamente. Todo se remonta al conjunto vacío, por ejemplo:
3 = {Ø,
{Ø}, {Ø, {Ø}}}
4 = {Ø,
{Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}
Probablemente no quieres ver el aspecto que tiene el número
de los enanitos.
Los materiales de construcción aquí son abstracciones: el conjunto vacío y la
acción de formar un conjunto haciendo una lista de sus elementos. Pero el modo
en que estos conjuntos se relacionan unos con otros lleva a una construcción bien
definida para el sistema numérico, en el cual cada número es un conjunto
específico, que de manera intuitiva tiene ese número de elementos. Y la
historia no se detiene aquí. Una vez has definido los números positivos
enteros, una estratagema teórica para los conjuntos define los números
negativos, las fracciones, los números reales (decimales infinitos), los
números complejos, etcétera, hasta llegar al más reciente y sofisticado
concepto matemático en teoría cuántica.
Así que ahora ya conoces el terrible secreto de las matemáticas: está todo
basado en nada.
© 2019 Javier De Lucas
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