EL NUMERO DE LA NADA

Breve historia del cero

Babilonia

La primera cultura que introdujo un símbolo con el significado de «ningún número aquí» fue la babilónica. La notación numérica babilónica no usaba base 10, sino base 60. La primera aritmética de Babilonia indicaba la ausencia de un término 602 con un espacio, pero alrededor de 300 a. C. ya habían inventado un símbolo especial. Sin embargo, parece que en Babilonia no habían pensado en este símbolo como un número por derecho propio. Además, lo omitían si estaba al final del número, de modo que el significado tenía que sacarse a partir del contexto.

India

La idea de la notación posicional de base 10 aparece en Lokavibhâga, un texto sobre cosmología del jainismo que data de 458 d. C., el cual también usa shunya (que significa «vacío»), donde nosotros usaríamos 0. En 498 d. C., el famoso matemático y astrónomo hindú Aryabhata describió la notación posicional como «posición a posición incrementa 10 veces su valor». El primer uso no controvertido de un símbolo específico para el dígito decimal 0 aparece en el año 876 d. C. en una inscripción en el templo Chaturbhuja, Gwalior, y adivina que: es un círculo pequeño.

Los mayas

La civilización maya de América Central, la cual alcanzó su esplendor entre los años 250 y 900 d. C., empleó una notación de base 20 y tenía un símbolo explícito para cero. Este método se remonta a mucho antes y se cree que fue inventado por los olmecas (1500-400 a. C.). Los mayas hicieron un uso considerable de los números en su sistema de calendario, un aspecto del cual se conoce como «la Cuenta Larga». Este asigna una fecha a cada día contando cuántos días han pasado desde una fecha de creación mítica, que sería el 11 de agosto de 3114 a. C. en el actual calendario occidental. En este sistema un símbolo para cero es esencial para evitar la ambigüedad.

¿Es el cero un número?

Antes del siglo IX d. C., el cero era visto como un símbolo práctico para los cálculos numéricos, pero no se le consideraba un número como tal. Probablemente, porque no contaba nada. Si alguien te pregunta cuántas manzanas tienes (y las tienes), las señalas de una en una y cuentas «una, dos, tres...». Pero si no tienes manzanas, no señalas una y dices «cero», pues no hay ninguna manzana que señalar. Como no puedes obtener 0 contando, no resulta evidente que sea un número.
Si esta actitud parece extraña, merece la pena observar que, hace más tiempo todavía, no se pensaba en «uno» como un número. Si tienes manzanas, seguramente tengas más de una. Una distinción parecida puede todavía encontrarse en el lenguaje moderno: la diferencia entre singular y plural. En la Grecia antigua también tenían una forma «dual», con modificaciones específicas de palabras usadas cuando hablaban de dos objetos. De modo que en ese sentido «dos» no se consideraba un número como el resto. Otras cuantas lenguas clásicas hacían lo mismo, y algunas de las modernas, como el escocés, el galés y el esloveno todavía lo hacen. Quedan algunos rastros en el español como «ambos» para dos cosas, pero «todo» para más.

A medida que se extendió el uso del cero como un símbolo y los números se empleaban para otros propósitos distintos que contar, se hizo evidente que en la mayoría de los aspectos el cero se comporta como cualquier otro número. En el siglo IX, los matemáticos hindúes consideraban cero un número como cualquier otro, no solo un símbolo usado como separación de otros símbolos para que quedase más claro. Usaban el cero sin reservas en sus operaciones diarias.
En la imagen de una recta numérica, en la que los números 1, 2, 3,... están escritos en orden de izquierda a derecha, está claro dónde debe ir 0: inmediatamente a la izquierda de 1. La razón es sencilla: sumando 1 a cualquier número se mueve un paso hacia la derecha. Sumando 1 a 0 se mueve a 1, de modo que 0 tiene que ir en el lugar en el que un paso a la derecha dé como resultado 1. Y esto es un paso a la izquierda de 1.
La aceptación de números negativos determinó el lugar del cero como un número verdadero. Todo el mundo estaba contento con 3 siendo un número. Si aceptas que 3 también es un número y que siempre que sumas dos números obtienes un número, entonces 3 + (3) tiene que ser un número. Y este número es 0.

Dije «en la mayoría de los aspectos, el cero se comporta como cualquier otro número» porque en circunstancias excepcionales no lo hace. Cero es especial. Tiene que serlo, porque es el único número que está claramente atrapado entre los números positivos y los negativos.
Está claro que sumando 0 a cualquier número no cambia. Si tenemos tres manzanas y sumamos ninguna manzana, seguimos teniendo tres manzanas. Ciertamente, hay cálculos extraños como este:

Un gato tiene una cola.
Ningún gato tiene ocho colas.
Por lo tanto, sumando:
Un gato tiene nueve colas.

Pero este pequeño lío es un juego de palabras que usa dos significados para «ningún». Esta propiedad especial del 0 implica que 0 + 0 = 0, lo cual nos dice que 0 = 0. Cero es su propio negativo. Es el único número así. Esto sucede precisamente porque 0 está atrapado en la recta numérica entre los números positivos y los negativos.
¿Qué ocurre con la multiplicación? Si tratamos la multiplicación como una suma que se repite, entonces:

2 × 0 = 0 + 0 = 0

3 × 0 = 0 + 0 + 0 = 0

4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

De modo que

n × 0 = 0

 

para cualquier número n. Esto tiene sentido en las transacciones financieras: si pongo tres cantidades de cero dinero en mi cuenta, no he puesto ningún dinero en ella. De nuevo, cero es el único número con esta propiedad especial. En aritmética, m × n y n × m son lo mismo para todos los números m yn. Esta convención implica que

0 × n = 0

 

para cualquier n, a pesar de que no podemos sumar «ninguna copia» de n consigo misma.
¿Qué ocurre con la división? Dividir cero entre un número distinto de cero es sencillo: obtienes cero. La mitad de nada es nada. Pero cuando se trata de dividir un número por cero, sale a relucir la naturaleza inusual del cero. ¿Cuánto es, por ejemplo, 1: 0? Definimos
m: n como cualquier número q que satisface que q × n = m. De modo que 1: 0 es cualquier número q que satisface que q × 0 = 1. Sin embargo, no existe tal número. Para cualquier q que consideremos, tenemos que q × 0 = 0. Nunca obtenemos 1. El modo obvio de lidiar con esto es aceptarlo. La división entre cero está prohibida porque no tiene sentido. Por otro lado, la gente solía pensar que 1: 2 tampoco tenía sentido, hasta que se introdujeron las fracciones, de modo que quizá no deberíamos rendirnos tan fácilmente. Podríamos intentar introducir un nuevo número que nos permita dividir por cero. El problema es que ese número viola las reglas básicas de la aritmética. Por ejemplo, sabemos que 1 × 0 = 2 × 0 ya que ambas son cero. Dividiendo ambos lados entre cero, tendríamos 1 = 2, lo cual es tonto. Así que parece sensato no permitir la división entre cero.

 

Número de la nada

 

El concepto más próximo a «nada» en matemáticas se da en teoría de conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos matemáticos: números, formas, funciones, redes... Se define haciendo una lista o describiendo sus elementos. «El conjunto con los elementos 2, 4, 6, 8» y «el conjunto de los enteros pares entre 1 y 9» definen el mismo conjunto, el cual podemos formar enumerando sus elementos:

{2, 4, 6, 8}

 

donde las llaves indican el conjunto formado por lo que contienen.

Hacia 1880, el matemático alemán Cantor desarrolló una extensa teoría de conjuntos. Había estado intentando resolver algunos problemas técnicos en análisis relacionados con discontinuidades, lugares donde una función de repente da un salto. Su respuesta involucraba la estructura del conjunto de las discontinuidades. No eran las discontinuidades individuales lo que importaba; era todo el asunto. Lo que realmente interesaba a Cantor, debido a su conexión con el análisis, eran los conjuntos infinitamente grandes. Hizo el espectacular descubrimiento de que algunos infinitos son mayores que otros.
Otro matemático alemán, Frege, retomó las ideas de Cantor, pero estaba mucho más interesado en conjuntos finitos. Pensaba que podía resolver el gran problema filosófico de la naturaleza de los números. Reflexionó sobre cómo los conjuntos se corresponden unos con otros; por ejemplo, emparejando tazas con platos. Los siete días de la semana, los siete enanitos y los números del 1 al 7, todos se emparejan perfectamente, de modo que todos definen el mismo número.

¿Cuál de estos conjuntos debería representar el número siete? La respuesta de Frege fue generalizada: todos. Definió un número como el conjunto de todos los conjuntos que se emparejan con un conjunto dado. De ese modo ningún conjunto es privilegiado y la elección es única en vez de ser una convención arbitraria. Nuestros nombres y símbolos para los números son solo etiquetas convencionales para estos gigantescos conjuntos. El número «siete» es el conjunto de todos los conjuntos que se emparejan con los enanitos y esto es lo mismo que el conjunto de todos los conjuntos que se emparejan con los días de la semana o la lista {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Es quizá superfluo señalar que aunque esto es una solución elegante del problema
conceptual, no constituye una notación razonable.

Cuando Frege presentó sus ideas en Leyes fundamentales de la aritmética, un trabajo de dos volúmenes que se publicó en 1893 y 1903, parecía como si hubiese resuelto el problema. Ahora todo el mundo sabía lo que era un número. Pero justo antes de que el volumen II fuese a imprenta, Bertrand Russell escribió una carta a Frege, la cual decía (y parafraseo): «Querido Gottlob: considera el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos». Como el barbero del pueblo que afeita a aquellos que no se afeitan solos, este conjunto es contradictorio en sí mismo. La paradoja de Russell, como se conoce ahora, reveló los peligros de asumir que conjuntos grandes de manera generalizada existen.

Los lógicos matemáticos intentaron solucionar el problema. La respuesta resultó ser justamente lo opuesto de la regla «pensar a lo grande» de Frege agrupando todos los posibles conjuntos. En su lugar, el truco era seleccionar solo uno de ellos. Para definir el número 2, construye un conjunto estándar con dos elementos. Para definir 3, usa un conjunto estándar con tres elementos, y así sucesivamente. La lógica aquí no es circular siempre y cuando construyas los conjuntos primero, sin usar números de manera explícita, y asignes símbolos y nombres numéricos para ellos después.

El principal problema era decidir qué conjuntos estándar usar. Tenían que estar definidos de manera única y su estructura debía corresponderse con el proceso de contar. La respuesta vino de un conjunto muy especial, el llamado «conjunto vacío».

Cero es un número, la base de todo nuestro sistema numérico. Debería contar los elementos de un conjunto. ¿Qué conjunto? Bien, tiene que ser un conjunto sin elementos. No es difícil pensar en un conjunto así: «el conjunto de todos los ratones que pesan más de 20 toneladas». Matemáticamente, hay un conjunto sin elementos: el conjunto vacío. De nuevo no es difícil encontrar ejemplos: el conjunto de todos los primos divisibles entre 4, o el conjunto de todos los triángulos con cuatro vértices. Estos parecen diferentes, uno está formado por números y el otro por triángulos, pero son el mismo conjunto, porque en realidad no hay números o triángulos en él, de modo que no puedes decir cuál es la diferencia. Todos los conjuntos vacíos tienen exactamente los mismos elementos, en concreto, ninguno. Por lo tanto, el conjunto vacío es único. Su símbolo, introducido por el grupo con el pseudónimo Bourbaki en 1939, es Ø. La teoría de conjuntos necesita el Ø, por la misma razón que la aritmética necesita el 0: todo es mucho más simple si se incluye.

De hecho, podemos definir el número 0 como el conjunto vacío.
¿Qué ocurre con el número 1? De modo intuitivo, necesitamos un conjunto con exactamente un elemento. Algo único. Bien... el conjunto vacío es único. De manera que definimos 1 como el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, en símbolos: {Ø}. Esto no es lo mismo que el conjunto vacío, porque tiene un elemento, mientras que el conjunto vacío no tiene ninguno. Se acuerda que ese elemento sea el conjunto vacío, pero hay un elemento en él. Piensa en un conjunto como una bolsa de papel que contiene a sus elementos. El conjunto vacío es una bolsa de papel vacía. El conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío es una bolsa de papel que contiene una bolsa de papel vacía. ¿Cuál es la diferencia? Tiene una bolsa en él.

El paso clave es definir el número 2. Necesitamos un conjunto definido de manera única con dos miembros. Así que por qué no usar los dos únicos conjuntos que hemos mencionado hasta ahora: Ø y {Ø}. De modo que definimos 2 como el conjunto {Ø, {Ø}}. Lo cual, debido a nuestras definiciones, es lo mismo que 0,1.
Surge un patrón general. Definimos 3 = 0, 1, 2, un conjunto con tres elementos, los cuales ya hemos definido. Luego 4 = 0, 1, 2, 3 y 5 = 0, 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente. Todo se remonta al conjunto vacío, por ejemplo:

 

3 = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

 

Probablemente no quieres ver el aspecto que tiene el número de los enanitos.
Los materiales de construcción aquí son abstracciones: el conjunto vacío y la acción de formar un conjunto haciendo una lista de sus elementos. Pero el modo en que estos conjuntos se relacionan unos con otros lleva a una construcción bien definida para el sistema numérico, en el cual cada número es un conjunto específico, que de manera intuitiva tiene ese número de elementos. Y la historia no se detiene aquí. Una vez has definido los números positivos enteros, una estratagema teórica para los conjuntos define los números negativos, las fracciones, los números reales (decimales infinitos), los números complejos, etcétera, hasta llegar al más reciente y sofisticado concepto matemático en teoría cuántica.

Así que ahora ya conoces el terrible secreto de las matemáticas: está todo basado en nada.

 

                                                                                                                                        © 2019 Javier De Lucas

 

INICIO  ASTRONOMIA  FISICA  LITERATURA  QUIMICA  INFORMATICA  EL ESCRITOR  SCRIBD  STREAM  BLOGS  CANALES  MIS LIBROS  CANTAUTOR  CANCIONES   WEBVIX  

 MIS DISCOS  SOUNDCLOUD  LOS POETAS  LOS MUNDOS  CIENCIA  UNIVERSO   CIENTIFICOS  MAS FISICA  PRACTICAS  SLIDE  MUSICA  ZARZUELA  CLASICO LOS SESENTA

VIDEOPOESIA  MIS LIBROS  SAVOY  VARIOS  PLAYLIST TEMAS  IMDIS  JAMENDO FLASH  WESTERN  VIDEOPOEMAS  VIDEOCANCION  MIXCLOUD  TU.TV  PICASSA  DIBUJOS

TOPCANTANTES   TOPCANCIONES   ET MAINTENANT  CARATULAS   DEPARTAMENTO  MY MUSIC  CANTAUTORES  GOEAR  SENTIMENTAL  VIDEOZARZUELA   VIDEOCIENCIA 

MAS CIENCIA    FISICAMANIA   COMPOSITOR   SHANTO   ANIVERSARIO   MEDIOTECA   WIDGET  MAS FISICA   MAS QUIMICA   ENSAYOS   ENSAYOS2   ¡DISPARA!   PLAYLIST

HUMOR  E-BIBLIO OBRAS  LIRICA  FRASES Y BALAS  CANALCIENCIA  MUSICALES  MAS ASTRO  TERROR  INMORTALES  GRAN MUSICA  HISTORIA MUSICA  APPLETS CLASICA

TECNO LA MALA BIBLIA  UNIVERSO SIN DIOS  FISICA BASICA 2   FISICA BASICA   LA NADA ETERNA  LA HUELLA DE DIOS  PALABRA DE PISTOLERO  MEMORIA SENTIMENTAL

LA LOGICA DE LO IRREAL    DESDE AQUEL VERSO    LOS HEROES SOLITARIOS   SELLFY   TIERRA DE SANGRE   NOSOTROS LOS ROMANTICOS   DETRAS DE LAS FORMULAS  

LOS REFLEJOS DEL TIEMPO       EL ORIGEN DEL UNIVERSO      ARBOL SIN HOJAS       VISIONES DEL FUTURO      HACIA LA TEORIA FINAL      CANCIONES DE HACE MIL AÑOS

RINCON DE AUSENCIAS  LOS CONSTRUCTORES DE LA CATEDRAL  MUNDO CUANTICO  HISTORIA DEL CIELO  EL ESPINAZO DE LA NOCHE  ESPACIO CURVO  UNIFICACIONES

REINA DE LAS CIENCIAS  EL SENDERO DE LOS NUMEROS  SERIES INFINITAS  EL UMBRAL DEL ATOMO  MAS ALLA DEL MODELO ESTANDAR  PALABRAS DE LAS ESTRELLAS

SONETOS EN BLANCO Y NEGRO    LA ESPUMA DEL VACIO   MEDIA VIDA EN VERSO   MECANICA CUANTICA   FISICA TEORICA Y PRACTICA    LAS  ECUACIONES DEL INFINITO

LA CLAVE QUIMICA  MANANTIALES   LA RESPUESTA DE LA FISICA  QUIMICA PARA PENSAR  UNA LINEA CONTINUA Y CERRADA  LA QUIMICA EN ACCION  QUIMICA CUANTICA

TEMAS DE FISICA Y QUIMICA  CUESTIONES BASICAS DE LA VIEJA FISICA  SINFONIA COSMICA  HACEDORES DE MUNDOS  HORIZONTES COSMOLOGICOS  PENSAR EN FISICA

VELAS ENCENDIDAS    UNAS GOTAS DE CIENCIA    CODIGO BINARIO    LA QUIMICA Y LA VIDA    APUNTES Y PRACTICAS DE FISICA    AMORES PERDIDOS AMORES ETERNOS

EL INVIERNO EN LA PIEL    PARECE QUE FUE AYER    QUIMICA CUANTICA AVANZADA    CRONICAS DEL ORIGEN    EL UNIVERSO ENCENDIDO    EL ENCANTO DE LA CUANTICA

VEN Y ENLOQUECE  NO DISPARES AL MUERTO    EL HUESO DE LEBOMBO     PASION POR SABER     DEL CAOS AL TODO   MIS ULTIMOS LIBROS   MIS LIBROS POR TEMAS

NL

  

                                                                                                                                                                                   © Javier De Lucas