CONJETURAS MATEMATICAS
Se denomina conjetura matemática a una afirmación que se supone cierta, pero que carece de demostración hasta la fecha de su formulación. Exponemos a continuación una serie de conjeturas que fueron propuestas hace bastante tiempo, habiendo sido alguna de ellas resuelta recientemente mientras que otras no lo han sido hasta el momento, a pesar de que todas ellas tienen un enunciado elemental y muy fácil de comprender,
Empezaremos por el problema de los cuatro colores, que afirma que dado un mapa cualquiera del plano bastan cuatro colores para colorearlo, de manera que cada país tenga un solo color y que países vecinos lleven colores distintos. Como vemos es un problema de enunciado sencillo y apariencia inofensiva, pero que esconde numerosas sutilezas. Fue planteado en 1852 por De Morgan y no fue resuelto hasta 1976 cuando Appel y Haken, con la colaboración de Koch, publicaron la demostración completa del teorema. Esta fue muy complicada, con un gran número de páginas y más de mil horas de computador. Era el primer ejemplo de un problema largamente buscado que logró resolverse con el uso de los ordenadores.
En 1998, Hales anunció la demostración de otro problema clásico, el problema de Kepler, que consistía en saber cuál es la manera más eficiente de apilar esferas en el espacio , o dicho de otro modo, cómo se debe llenar una caja con esferas idénticas para que la parte de la caja que quede vacía sea la menor posible. La conjetura afirmaba que la mejor manera de hacerlo es la que cualquier frutero seguiría al apilar naranjas en una caja. Cuando Hilbert incluyó esta conjetura en su famosa lista de problemas, no sabía el papel que los empaquetamientos de esferas iban a desempeñar en la tecnología de la información. El diseño de buenos empaquetamientos permite enviar señales por un canal con ruido sin perder calidad. Los códigos que garantizan la fidelidad del sonido de un CD utilizan versiones binarias de los empaquetamientos.
Este problema tiene bastantes similitudes con el anterior, en el sentido de que ambos tienen planteamientos sencillos, ha habido numerosos intentos por resolverlos, han dado lugar a técnicas
matemáticas interesantes, y la demostración final requiere el uso del ordenador.
También las conjeturas anteriores comparten con el último teorema de Fermat (S. XVII) varias características o similitudes. Su enunciado afirma que la ecuación xn+yn = zn para n>2 no puede tener soluciones enteras distintas de cero.
Esta conjetura preocupó a los matemáticos durante más de tres siglos hasta que finalmente fue resuelta por Andrew Wiles en 1994, utilizando los recursos más sofisticados de la matemática actual. Pese a su simple enunciado la demostración resultó muy complicada y sólo entendible para una mínima parte de los matemáticos.
Pasamos ahora a dar una serie de conjeturas clásicas de teoría de números propuestas hace tiempo y que no han podido ser resueltas hasta ahora, a pesar se sus enunciados elementales y fácilmente comprensibles.
· Cualquier número mayor que cuatro se puede expresar como suma de dos números primos impares (conjetura de
Goldbach, 1742).
· Dos números primos que difieren en dos unidades se llaman primos gemelos. Se desconoce si el número de primos
gemelos es infinito.
p
o Los primos que son de la forma 2 -1, donde p es otro número primo, se llaman primos de Mersenne. No se sabe si
hay infinitos de estos números.
· Los números naturales que son iguales a la suma de sus divisores, diferentes de sí mismos, se llaman números
perfectos. Por ejemplo, los números 6, 28, 496, 8128 son perfectos. Tampoco se sabe si hay infinitos números perfectos ni si hay algún número perfecto impar.
· Se sabe que para todo primo p>3 siempre hay un número primo comprendido entre p y 2p, pero se desconoce si existe siempre un número primo comprendido entre p2 y (p+1)2.
Finalmente, expondremos un par de curiosidades que presentan conjeturas no resueltas y que parecen atractivas.
Tomamos un número natural cualquiera. Si es impar lo multiplicamos por 3 y le añadimos 1. Si es par, lo dividimos entre
2. Si repetimos la operación sucesivamente llegamos siempre al número 1. Por ejemplo:
130 → 65 → 196 → 98 → 49 → 148 → 74 → 37→ 112 → 56 →
28 → 14 → 7 → 22
→ 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 →
16 → 8 → 4 → 2 → 1
Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta números muy grandes, pero no está demostrado que sea un hecho general.
Por otra parte, en el evangelio de San Juan aparece el número
153 como el número de peces que cogieron los discípulos al echar la red, siguiendo el consejo de Jesús y tras una noche en la que no habían pescado nada. Dicho número ha sido considerado como número mágico y tiene algunas propiedades como las siguientes:
· Es un número triangular, ya que: 1+2+3+ ..... +17 =
153
o 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153
3 3 3
§ 1 + 3 + 5 = 153
Además, si partimos de un número natural que sea múltiplo de 3 y sumamos los cubos de sus cifras, y al resultado le aplicamos
la misma operación y así sucesivamente, llegamos siempre al número 153. Por ejemplo:
1374 → 435 → 216 → 225 → 141 → 66 → 432 → 99 → 1458
→ 702 → 351 → 153
Por eso se dice que el número 153 es un agujero negro, respecto de la suma de los cubos de sus cifras, ya que al llegar a él no se puede salir ya.
Problema 3x+1
Para introducirnos en esta conjetura, partamos construyendo sucesiones de números
naturales, de acuerdo a la siguiente regla:
· Se elige un número natural cualquiera, el cual será el primer elemento de la sucesión.
· Si el primer elemento es un número par el segundo será la mitad de éste. Si el primer
elemento es impar, el segundo elemento será e triple de éste más 1.
· El tercer elemento de la sucesión se forma a partir del segundo y siguiendo las mismas
instrucciones precedentes.
|
- Y así
sucesivamente. |
Veamos algunos ejemplos de estas sucesiones:
Sea a1 = 10. Como a1 es par, a2 = a1 / 2 = 10 / 2 = 5. Como a2 es impar,
a3 = 3⋅ a2 +1 = 3⋅5 +1 = 16. Como a3 es par se tiene que a4 = a3 / 2 = 8. Luego, a5 = 4, a6 = 2 y
a7 = 1. Para resumir de manera más fácil esta sucesión, la notaremos:
10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
El proceso lo hemos detenido en el número 1, púes si continuamos se entra en un ciclo
infinito, pues después del 1 vendrían: 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, etc.
Si iniciamos el proceso con el número 9, se obtiene la sucesión 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2,
1
Ahora si comenzamos con el número 25, se obtiene
25, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,
10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Y si partimos con el 27:
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161,
484, 242, 121, 364, 182, 91, 274,
137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526,
263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890,
445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283,
850, 425, 1276, 638, 319, 958,
479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288,
3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102,
2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866,
433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244,
122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5,
16, 8, 4, 2, 1
Trabajando con estas sucesiones, Lothar Collatz1 planteó en el año 1937 la siguiente conjetura:
Partiendo de cualquier número natural, la sucesión recién definida
siempre termina en el número 1
Esta conjetura, a pesar de tener un enunciado extremadamente sencillo, aún no se ha podido resolver categóricamente, es decir aún no se ha encontrado un contraejemplo ni logrado una demostración de ella. Como un dato curioso se puede mencionar que hasta septiembre del
presente año se ha verificado la validez de esta conjetura hasta el número inicial 19⋅ 258.
Como es de suponer existen otras muy famosas conjeturas en la matemática, alguna de las cuales aún no han podido ser resueltas. Por ejemplo:
El Último Teorema de Fermat (planteada en el año 1600):
La ecuación xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras para n>2.
Una multitud de famosos matemáticos abordaron esta conjetura (Leonard Euler, Sophie Germain, Lejeune Dirichlet, Adrien Legendre, Gabriel Lamé, Agustín Cauchy, Ernst Kummer, Gerhard Frey). Finalmente, y solo en año 1995, el matemático inglés Andrew Wiles demuestra que esta conjetura es un teorema.
La conjetura de Goldbach (planteada en el año 1742.):
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos
números primos.
Esta conjetura se encuentra sin solución hasta la fecha. Problema de Kepler (planteado el año 1611):
La manera más eficiente (que la parte de la caja que quede vacía sea la menor posible) de llenar una caja con esferas idénticas es simplemente hacerlo de la manera como cualquier frutero
seguiría al apilar naranjas en una caja.
En el año 1998, 4 siglos después de la formulación de esta conjetura, Thomas Hales publicó un articulo en la revista
Annals of Mathematics en el cual se prueba la conjetura de Kepler.
El artículo de Hales consta de más de 100 páginas de argumentaciones matemáticas, y usa un programa informático para revisar cerca de 5000 casos para los que hay que optimizar funciones de más de 200 variables. Los expertos que revisaron la validez de esta demostración se declararon incapaces de revisar en detalle todos los casos que se abordaban computacionalmente. Por esta razón el comité aseguró que la demostración propuesta por Hales era válida al menos en un 99%. Como es de suponer esto ha generado toda una controversia, que recuerda las discusiones en torno a la demostración del teorema de los 4 colores.