CONSTANTE COSMOLOGICA
La constante cosmológica fue introducida inicialmente por Einstein en sus ecuaciones de campo de la Relatividad General para poder modelar un Universo estático homogéneo con simetría esférica. En aquella época (a finales de la segunda década del siglo), todavía no se conocía la expansión del Universo, por lo que Einstein se vio obligado a introducir un efecto repulsivo (a veces denominado "antigravitatorio") que compensara la tendencia gravitatoria al colapso que se produciría en un universo estático. Con el descubrimiento de la expansión del universo por Hubble, la constante le pareció superflua a Einstein, que la consideró como "el mayor error" de su obra científica. Sin embargo, algunos teóricos confiaron en el resultado, porque era el único término consistente que se puede añadir a las ecuaciones de campo de la Relatividad General sin que éstas pierdan su coherencia.
El interés volvió a resurgir con las teorías cuánticas de campos, pues estas predicen una densidad de energía del vacío que se puede comportar, a todos los efectos, como una constante cosmológica efectiva. Además, durante los primeros años de la década de los 80, se empezó a poner de moda los escenarios inflacionarios de los primeros instantes del Universo, que proponen un valor bastante elevado de la densidad de energía de vacío. Veamos a grosso modo cómo funciona esto:
El principio de incertidumbre de Heisenberg permite la formación de pares virtuales partícula-antipartícula de masa m durante intervalos de tiempo del orden de h/(mc2), siendo h la constante de Planck y c la velocidad de la luz. Estos procesos implican que el vacío debe tener una densidad de energía diferente de cero, que a veces se denomina "energía del punto cero". Existen evidencias experimentales indirectas de la existencia de esta densidad de energía de vacío a través de lo que se conoce como el "efecto Casimir".
Pero, ¿cómo puede el vacío pesar algo? Si tenemos un pistón "lleno de vacío" y tiramos del émbolo, crearemos más vacío, que por tanto contendrá una mayor "energía de vacío" que sólo ha podido ser suplida por la fuerza que movió el pistón. En el proceso, la densidad de energía de vacío debe ser, por supuesto, una constante, ya que no puede depender de ningún parámetro pues, en el vacío, ¡no hay nada de lo que pueda depender!. Cuando hacemos el experimento más habitual con un gas en el interior del pistón, baja la presión del gas. En este proceso, "bajar la presión" implica enfriamiento y por tanto "disminución de la energía interna del gas". En el caso del vacío ocurre lo contrario. Tenemos por tanto que calcular la presión como negativa.
La presión relativista en este caso se puede calcular como
P = - rvacío c2
Donde r vacío es la densidad de masa del vacío calculada a partir de la relación relativista
E = m c2
Pero en Relatividad General, la energía tiene "peso" y por tanto, presión. Así que la aceleración g (en la aproximación newtoniana) vendrá dada por:
g = 4/3 p G (rmateria+rvacío+ 3 P/c2) R -2
El factor 3 puede ser entendido como el hecho de que podemos tener un flujo de momento que ejerce presión en cada una de las tres direcciones del espacio.
Para un modelo estático de Universo como el propuesto por Einstein, g = 0 y por tanto
r vacío = 0.5 r materia
Aparte del hecho de que observacionalmente el Universo está en expansión, el Universo estático de Einstein es inestable ante colapso o expansión, de la misma manera que un lápiz apoyado sobre su punta está en una posición de equilibrio inestable.
Es matemáticamente algo complejo demostrar que el nivel fundamental de un sistema de partículas virtuales como el vacío tiene una energía finita y no hay ningún mecanismo conocido que obligue a esta energía a ser igual a cero. De una manera estimativa, podemos dar un orden de magnitud de la densidad de energía del vacío esperando la contribución de una partícula en un volumen correspondiente a su longitud de onda compton, esto es:
rvacío = M4c3/h3 = 1013 [M / masa del protón]4 g/cc
Para la partícula más masiva que cabría esperar, la masa de Planck, de unos 20 microgramos, esta energía es de unos 1091 g/cc. El contraste observacional del Universo a gran escala pone un límite superior de unos 10-30 g/cc. De lo que se deduce que tendría que existir algún mecanismo de supresión muy efectivo que disminuye su valor en al menos 120 órdenes de magnitud.
La ecuación dinámica de un Universo con término cosmológico se puede escribir como:
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 p G r + l/3 - K c2/a2
Es habitual definir los siguientes parámetros de densidad:
parámetro de densidad de materia Wm = 8/3 p G r/H2
parámetro de densidad de energía de vacío Wl = l/(3H2)
parámetro de densidad debido a la curvatura Wk =- K c2/H2
Cumpliéndose obviamente que Wm + Wl + Wk = 1
La solución para el parámetro
de expansión en función del tiempo a(t) requiere de una integración
numérica.
Límites observacionales
Una manera de buscar una densidad de energía de vacío no nula es estudiando las órbitas de partículas que se mueven en un campo gravitatorio de masa conocida. El Sistema Solar es el mayor sistema gravitatorio donde conocemos con suficiente exactitud cuáles son las masas, por lo que podemos comprobar cuidadosamente cómo se ajusta la tercera ley de Kepler a las observaciones. Para una densidad de energía de vacío muy pequeña, tenemos que la variación relativa del periodo orbital de un planeta es
dP/P = (4 p/3) R3rvacío/ MSol
Esto sólo puede comprobarse para planetas de los que se tenga una medida independiente de la distancia al Sol. El Voyager permitió medir con precisión la distancia a Urano y Neptuno, y Anderson y su equipo encontraron que dP/P es menor que unas 2 partes por millón a la distancia de Neptuno. De esto se deduce que
rvacío < 2 10 -17 g/cc
La constante cosmológica produce además una precesión del perihelio del planeta dado por 3 ´(4 p/3) R3rvacío/ MSol ciclos por órbita. Puesto que los datos de los Viking son tan precisos, puede deducirse que
rvacío < 2 10-19 g/cc
En sistemas mayores no podemos hacer verificaciones de algunas partes por millón. En el caso de la órbita solar alrededor del centro galáctico, sólo se puede decir que la densidad de energía del vacío tiene que ser menor que la mitad de la densidad media de materia en una esfera centrada en el Centro Galáctico, que se extienda hasta la distancia a la que se halla el Sol. Si la densidad de energía del vacío fuera mayor que esto, no existiría aceleración centrípeta del Sol hacia el Centro Galáctico. Pero como se calcula la densidad media de materia asumiendo que la densidad de energía del vacío es cero, puede quitarse el un medio y expresar que:
rvacío < (3/(4 p G))(v/R)2 = 3 10-24 g/cc
para una velocidad circular v = 220 km/s y una distancia R = 8.5 kpc
El mejor límite superior para la densidad de energía del vacío viene del mayor sistema posible: el Universo entero. La densidad de energía del vacío lleva a una aceleración en la expansión del Universo. Si ésta fuera mayor que la densidad crítica, el Universo no hubiera pasado por una fase de alta densidad y temperatura cuando el factor de escala fuese cero (el Big Bang). Como sabemos que esto fue así, tal como sugieren las abundancias de elementos ligeros, y las propiedades del fondo cósmico de microondas, se requiere que el Universo fuera, al menos, un billón de veces más pequeño en el pasado de lo que es ahora. Esto limita la densidad de energía del vacío a
rvacío< rcrítica ~ 8 10-30 g/cc
En la prensa científica se publicaron los trabajos de dos grupos independientes que trabajan en Supernovas. Los resultados de ambos son consistentes con una densidad de energía del vacío
rvacío~ 0.75 rcrítica = 6 10-30 g/cc
El problema con la constante cosmológica se puede dividir en dos cuestiones fundamentales que hoy por hoy no tienen una respuesta dentro de la Física y de la Cosmología estándar. Estas dos cuestiones son:
1. ¿Por qué las espectativas de los cálculos cuánticos para la energía de vacío es de unos 1091 g/cc, mientras que el valor observado pone un límite superior de unos 10-30 g/cc?. ¿Existe algún mecanismo desconocido de supresión muy efectivo que disminuya su valor en al menos 120 órdenes de magnitud?.
2. ¿Por qué el valor observado de la constante cosmológica contribuye a una densidad de energía cósmica del mismo orden de magnitud que la contribución de la materia?. ¿Por qué habríamos de vivir en una época del Universo donde se da esta (a priori) improbable coincidencia?.
Hasta hoy sólo se ha dado una posible respuesta a este problema. Los ingredientes de esta respuesta son, por un lado, el escenario de Inflación Caótica, y por otro lado, el Principio Antrópico Débil. En un Universo formado por un número arbitrariamente grande (quizás infinito) de Universos en expansión, como ocurre de forma natural en los escenarios de inflación caótica, resulta un hecho trivial (Principio Antrópico Débil) que los habitantes que estudian la estructura a gran escala del Uuniverso sólo puedan hacerlo desde aquellos Universos cuyo valor de la constante cosmológica no sea lo suficientemente pequeño para que las fluctuaciones originales en la densidad no se diluyeran antes de tener tiempo de formar las estructuras galácticas, y, por tanto, fuera posible la aparición de la vida y posteriormente de los astrónomos que han observado este hecho. Steven Weinberg ha calculado que el valor esperado de la constante cosmológica con este tipo de argumentación cae dentro del rango de las observaciones.
La ley del inverso del cuadrado de la distancia implica dos propiedades básicas de la gravedad newtoniana
I. La atracción gravitatoria de una masa esférica sobre una partícula situada fuera de dicha esfera es indistinguible de la producida por una masa puntual de la misma magnitud situada en el centro de la esfera.
II. La fuerza de atracción sobre una partícula situada en interior de una esfera es igual a la producida por la esfera interior a la situación de la partícula. En otras palabras, una distribución esférica de masa no influye en puntos de su interior.
En términos más precisos, podemos decir que, considerando un cascarón esférico de radio R, de anchura infinitesimal y densidad superficial de masa s , tenemos que un punto exterior situado a una distancia r está sometido a un potencial gravitatorio f(r). Para que este potencial gravitatorio sea exactamente igual al de una masa puntual M(R), colocada en el centro de la esfera, debe cumplirse que
M(R) f(r) + L(R) = 2 p s R/r òr-Rr+R x f(x) dx
Donde L(R) es una posible constante añadida al potencial que no cambia la ley de fuerzas. La propiedad I implica que M(R) = 4 p s R2 sólo si se cumple que el potencial tenga la forma general
f(r) = A/r + B r2 + C
con 2 C R + 2 B R2 = L (R)
Entonces sólo se recupera el potencial clásico newtonianos (B = 0) imponiendo la condición II.
El segundo término B r2 es el equivalente newtoniano de una constante cosmológica y, como vemos, surge en la gravitación clásica de manera natural con sólo relajar la condición II. Por supuesto, Newton nunca llegó a este resultado puesto que su forma de razonamiento fue realizada de forma inversa. Newton apostó desde el principio por la ley del inverso del cuadrado de la distancia, y posteriormente demostró que ésta tenía la propiedad I. De hecho, no publicó su teoría hasta que se hizo con tal demostración.
© Javier de Lucas