Kurt
Freidrich Gödel nació el 28 de de abril de 1906 en Brünn, Moravia
(Austria- Hungría, en el día de hoy República Checa). Su padre, Rudolph,
fue un diligente e inventivo propietario de una fábrica textil. Su
madre, Marianne, fue una cariñosa madre de familia que había recibido
una extensa educación literaria en Francia. La familia Gödel era
económicamente acomodada y el joven Kurt pudo dedicar todas sus energías
al estudio, ya que no era necesario colaborar a la financiación
familiar. Sobresalió en el trabajo escolar. Su primer interés académico
fue la Lingüística, pero más tarde acudió a las Matemáticas ya que era
más fácil para él estudiarlas por su cuenta, una vez agotados los
recursos que le ofrecía la escuela.
Ingresó en la Universidad de
Viena en 1924 planeando estudiar Física Teórica. Hacia 1926 su atención
volvió a las Matemáticas y se produjo su unión a lo que más tarde fue
conocido como el Círculo de Viena, un grupo de matemáticos que fundó la
escuela filosófica conocida como Positivismo Lógico. Gödel estuvo
asociado con este grupo durante muchos años. La principal premisa del
Círculo de Viena era que lo que no es verificable empíricamente no tiene
sentido. La antítesis de esta filosofía es la especulación metafísica,
ya que nada puede ser probado o refutado con algún grado de certidumbre
dentro del sistema metafísico. Gödel se fue interesando progresivamente
en Teoría de Números y, después, en Lógica Matemática durante estos
años.
En 1930, Gödel se doctoró en Matemáticas dirigido por H.
Hahn, un notable matemático miembro del Círculo de Viena. A partir de
aquí comienza Gödel a trabajar en sus más importantes teorías sobre la
completitud de sistemas formales. Viajó a los Estados Unidos dando un
ciclo de conferencias y se encontró por primera vez con Albert Einstein
en 1933. Dedicó alguno de los años siguientes al estudio de problemas de
Física y de Psicología. Durante esta época tuvo que ser ingresado varias
veces en hospitales por problemas de salud.
Gödel se casó con
Adele Porkert en 1938 y decidieron trasladarse definitivamente a los
Estados Unidos en 1940. Se asentaron en Princeton, New Jersey, donde
residieron hasta el final de sus vidas.
Llegó a ser un gran
amigo de Einstein, y trabajaron juntos los aspectos filosóficos y
matemáticos de la Teoría General de la Relatividad. Gödel incluso
trabajó con éxito en las ecuaciones del campo gravitatorio, encontrando
soluciones sorprendentes. También dedicó gran parte de su tiempo al
estudio del concepto de tiempo, publicando varios artículos y dando
varias conferencias sobre el tema.
Recibió muchos homenajes
importantes durante su vida. Fue nombrado doctor honorario en Literatura
por la Universidad de Yale en 1951. También fue doctor honorario en
Ciencias por Harvard en 1952 con una mención que lo llamó "el
descubridor de la verdad matemática más significativa del siglo". Fue
elegido como miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1955 y de la
Academia Americana de las Artes y Ciencias en 1957. En 1961 ingresó en
la Sociedad Filosófica de América. En 1967, fue elegido miembro
honorario de la Sociedad Matemática de Londres. Finalmente, en 1975, el
presidente Ford le entregó la Medalla Nacional de las Ciencias. Batalló
durante toda su vida contra sus problemas de salud física y mental.
Confesó en 1969 que no era capaz de entender el trabajo de los nuevos
lógicos; la enfermedad iba cobrando su peaje. Años más tarde, llegó a
estar convencido de que estaba siendo envenenado. Para evitar esto, dejó
de comer y acabó muriendo por inanición el 14 de enero de 1978.
Obra de Kurt Gödel
La obra lógica de Gödel hay que
relacionarla desde el principio con el programa formalista de Hilbert.
Su tesis doctoral fue su famosa prueba de la suficiencia semántica del
cálculo lógico de primer orden, y sólo tenía 11 páginas. Dos años antes,
Hilbert y Ackermann habían delimitado de un modo claro la lógica de
primer orden y presentado un cálculo lógico para ella. Dicho cálculo no
era completo sintácticamente en el sentido de que para cada fórmula o
bien ella o bien su negación fuera deducible. Esto es así ya que un
cálculo lógico solo pretende generar las fórmulas válidas (fórmulas
verdaderas bajo cualquier interpretación), y hay muchas fórmulas tales
que ni ellas ni su negación son válidas. Lo que sí podía plantearse era
la cuestión de si el cálculo era semánticamente suficiente, es decir, si
permitía deducir todas las fórmulas válidas. Hilbert y Ackermann no
habían encontrado respuesta a esta pregunta en 1928, y eso precisamente
es lo que hizo Gödel dos años después, dando respuesta positiva: el
cálculo lógico de primer orden era lo suficientemente potente como para
deducir todas las fórmulas válidas (y sólo estas). Este resultado marcó
un jalón en la historia de la Lógica Moderna y supuso un espaldarazo
prometedor para el programa formalista de Hilbert.
El resultado
más revolucionario de la Lógica del siglo XX, por el que Kurt Gödel es
especialmente famoso, es el teorema de incompletitud, publicado en 1931.
Este teorema es más fácil de entender si nos aproximamos a él
indirectamente. Con este fin, presentaremos un rompecabezas lógico y
algunos términos clave antes de pasar a la discusión del teorema
propiamente dicha.
Hay una antigua afirmación paradójica,
llamada paradoja del mentiroso, que puede ayudarnos a ilustrar el tema:
"Esta afirmación es falsa." Pasemos a analizar tal afirmación. Si esta
es verdadera, esto significa que la afirmación es falsa, lo cual
contradice nuestra primera hipótesis. Por otra parte, si la afirmación
es falsa, la afirmación debe de ser verdadera, lo cual nos lleva de
nuevo a una contradicción. Una versión aun más simple de esta paradoja
(como señaló Lewis Carrol) es la afirmación siguiente: "Yo estoy
mintiendo." En estas afirmaciones se presenta el fenómeno llamado bucle
extraño . Cualquier suposición inicial que se haga conduce a una
refutación de ésta. Muchas de las ilusiones ópticas del arte de M. C.
Escher están basadas en este concepto.
Otro término importante
es el de isomorfismo . Entenderemos aquí un isomorfismo como una
conexión entre un nivel del entendimiento y otro. El isomorfismo más
común es el que se da entre el lenguaje y la mente. Estas palabras que
usted está leyendo son combinaciones de líneas que tienen un significado
atribuido. Ellas no significan nada por sí mismas, son meras conexiones
con conceptos que están en nuestras mentes. Este es un ejemplo difícil,
ya que estamos tan acostumbrados a hablar y escribir que olvidamos que
las letras y las palabras no son la verdadera comunicación. Otro ejemplo
es el sistema de numeración romana. Sabemos cómo expresar números
arábigos (los cuales son isomorfos a dedos, rocas, etc.) en el sistema
romano, pero ello es algo peliagudo. Estamos enterados del isomorfismo
entre estos dos sistemas tipográficos desde el momento en el que
necesitamos trasladarnos del uno al otro constantemente.
El
último término a considerar es el de sistema formal . Este término
parece bastante fácil, pero su propia naturaleza hace necesario
definirlo explícitamente. Llamaremos sistema formal a un sistema
tipográfico que sea isomorfo a la teoría de números. Esto es comparable
a tomar las expresiones de lenguaje natural de las demostraciones
geométricas y sustituirlas por símbolos que tengan el mismo significado.
Se hace esto para evitar la ambigüedad y fomentar la precisión. El punto
a tener en cuenta a la hora de trabajar con sistemas formales es que no
podemos usar el sentido común o, en general, cualquier argumento ajeno
al sistema. El Formalismo es un movimiento, en la Lógica y en las
Matemáticas, impulsado por Hilbert en los años 20. Hilbert inventó un
artificial lenguaje de la lógica y comenzó a trasladar las afirmaciones
de la teoría de números dentro de él. Su propósito era construir
sistemas formales completos para las principales teorías de la
matemática clásica. Completos en el sentido de que cualquier afirmación
puede o bien ser demostrada o bien ser demostrada su negación. El
programa de Hilbert también requería que se demostrara la consistencia
de dichos sistemas formales.
El teorema de incompletitud de
Gödel es bastante sencillo de entender una vez hemos introducido la
paradoja del mentiroso (citada más arriba). Gödel hizo manipulaciones
para trasladar el lenguaje natural del mentiroso al lenguaje de las
matemáticas. Lo que probó es comparable (isomorfo) a la afirmación "Este
teorema no tiene demostración". ¡Lo sorprendente es que él probó el
teorema! Diseñó su propio lenguaje lógico para esto. En definitiva,
descubrió que existían afirmaciones verdaderas que no podían ser
probadas dentro del sistema.
Gödel probó que todo sistema formal
que contuviera a la aritmética elemental (un ejemplo de este sistema
serían las Matemáticas como un todo) es incompleto. Además, por el
camino encontró que la consistencia de dichos sistemas era imposible de
probar. Esto no significó el fin del Formalismo, pero supuso un duro
golpe para éste.
También hizo grandes contribuciones a la Teoría
de Conjuntos, como la demostración de la consistencia relativa del
axioma de elección y de la hipótesis del continuo respecto del resto de
los axiomas. Además, hizo importantes contribuciones al estudio del
problema de la decisión, definió por primera vez las funciones
recursivas, probó la consistencia de la lógica y aritmética clásica
respecto de la intuicionista, se ocupó de la cosmología relativista y
encontró soluciones sorprendentes a las ecuaciones del campo
gravitatorio de la relatividad general.
©
1983 Javier de Lucas