LA ULTIMA ECUACION

Las ecuaciones son el alma de las matemáticas, la ciencia y la tecnología. Sin ellas, nuestro mundo no existiría en su forma actual. Sin embargo, las ecuaciones tienen fama de ser horripilantes: los editores de Stephen Hawking le dijeron que cada ecuación reduciría a la mitad las ventas de su libro "Historia del tiempo", pero más tarde ignoraron su propio consejo y le permitieron introducir E = mc² cuando eliminándola supuestamente habrían vendido otros 10 millones de copias. Estoy del lado de Hawking. Las ecuaciones son demasiado importantes para esconderlas. Pero sus editores también tenían razón; las ecuaciones son formales y austeras, parecen complicadas e incluso a quienes les encantan les pueden desanimar si son bombardeados con ellas.

En mis libros científicos incluyo ecuaciones, no puedo evitar incluirlas al igual que no puedo escribir un libro sobre montañismo sin usar la palabra «montaña». Las ecuaciones han jugado un papel esencial en la creación del mundo actual, desde la cartografía a la navegación por satélite, desde la música a la televisión, desde el descubrimiento de América a la exploración de las lunas de Júpiter. Afortunadamente no se necesita ser un ingeniero aeroespacial para apreciar la poesía y la belleza de una buena e importante ecuación.

Hay dos tipos de ecuaciones en matemáticas  y física, que aparentemente son muy parecidas. Un tipo presenta relaciones entre varias cantidades matemáticas; la tarea es probar que la ecuación es cierta. El otro tipo proporciona información sobre una cantidad desconocida y la tarea matemática es resolverla, para hacer lo desconocido, conocido. La distinción no está clarísima, porque a veces la misma ecuación puede usarse para ambas cosas, pero es una pauta útil. En mis libros, el lector se encontrará con ecuaciones de ambos tipos.

La ecuaciones en matemática pura son habitualmente del primer tipo; revelan patrones y regularidades profundas y hermosas. Son válidas porque, dados nuestros supuestos básicos sobre la estructura lógica de las matemáticas, no hay alternativa. El teorema de Pitágoras, que es una ecuación expresada en el lenguaje de la geometría, es un ejemplo. Si se aceptan los postulados básicos de Euclides sobre la geometría, entonces el teorema de Pitágoras es cierto. Las ecuaciones en matemáticas aplicadas y física matemática son normalmente del segundo tipo. Codifican información sobre el mundo real, expresan propiedades del universo que podrían en principio haber sido diferentes. La ley de la gravedad de Newton es un buen ejemplo. Nos dice cómo la fuerza de atracción entre dos cuerpos depende de sus masas y cómo de distanciados están. Solucionando las ecuaciones resultantes nos indica cómo los planetas dibujan su órbita alrededor del Sol o cómo diseñar una trayectoria para una sonda espacial. Pero la ley de Newton no es un teorema matemático, es cierta por razones físicas, encaja con lo observado.  La ley de la gravedad podría haber sido diferente. De hecho, es diferente. La teoría general de la relatividad de Einstein mejora lo planteado por Newton ya que se adecua a algunas observaciones mejor, sin fastidiar aquellas donde la ya conocida ley de Newton hacía un buen trabajo.

El curso de la historia de la humanidad ha sido redirigido una y otra vez por una ecuación. Las ecuaciones tienen poderes escondidos. Revelan los secretos más íntimos de la naturaleza. Esto no es el modo tradicional para los historiadores de organizar el ascenso y la caída de las civilizaciones. En los libros de historia abundan reyes y reinas, guerras y desastres naturales, pero las ecuaciones escasean. No es justo. En la época victoriana, Michael Faraday estaba demostrando conexiones entre magnetismo y electricidad al público en la Royal Institution de Londres. Parece ser que el primer ministro William Gladstone preguntó si habría alguna consecuencia práctica que pudiese sacarse de aquello. Se dice (basándose en muy pocas evidencias reales, pero ¿por qué arruinar una bonita historia?) que Faraday respondió: «Sí, señor. Algún día nos cobrará impuestos por ello». Si dijo eso, tenía razón. James Clerk Maxwell transformó observaciones experimentales tempranas y leyes empíricas sobre magnetismo y electricidad en un sistema de ecuaciones para el electromagnetismo. Entre las muchas consecuencias están la radio, el radar y la televisión.

Una ecuación obtiene su poder de una fuente simple. Nos dice que dos cálculos, que parecen diferentes, tienen la misma respuesta. El símbolo clave es el signo igual =. Los orígenes de la mayoría de los símbolos matemáticos están o bien perdidos en la noche de los tiempos, o bien son tan recientes que no hay duda de dónde vienen. El signo igual es inusual porque data de hace más de 450 años, y no solo sabemos quién lo inventó, sino por qué. El inventor fue Robert Recorde, en 1557, en "The Whetstone of Witte". Usó dos líneas paralelas para evitar la repetición tediosa de las palabras «es igual a». Escogió ese símbolo porque «no hay dos cosas que puedan ser más iguales». La de Recorde fue una buena elección. Su símbolo se sigue usando 450 años más tarde.

El poder de las ecuaciones recae en la correspondencia filosóficamente difícil entre las matemáticas, una creación colectiva de mentes humanas, y una realidad externa física. Las ecuaciones dan forma a patrones profundos en el mundo exterior. Aprendiendo a valorar las ecuaciones y a leer las historias que cuentan, podemos descubrir características vitales del mundo que nos rodea. En principio, puede que haya otros modos de lograr el mismo resultado. Mucha gente prefiere las palabras a los símbolos; el lenguaje también nos da poder sobre lo que nos rodea. Pero el veredicto de la ciencia y la tecnología es que las palabras son imprecisas y demasiado limitadas para proporcionar una ruta efectiva a los aspectos más profundos de la realidad. Están demasiado influenciadas por suposiciones humanas.

Las palabras solas no pueden proporcionar el entendimiento de la esencia. Las ecuaciones pueden. Han sido una fuerza motriz en la civilización humana durante miles de años. Durante toda la historia, las ecuaciones han estado manejando los hilos de la sociedad. Escondidas entre bastidores, para estar seguras, pero la influencia estaba ahí, tanto si se notaba como si no.

Cuando alguien pone por escrito una ecuación, no hay un repentino trueno tras el cual todo es diferente. La mayoría de las ecuaciones tiene poco o ningún efecto (yo las pongo por escrito todo el rato, y créanme, lo sé). Pero incluso las mejores y más influyentes ecuaciones necesitan ayuda para cambiar el mundo: modos eficientes de resolverlas, gente con la imaginación y el instinto para explotar lo que nos quieren decir,  mecanismos, recursos, materiales, dinero. Teniendo esto en mente, las ecuaciones han establecido repetidamente nuevas direcciones para la humanidad, y actuado como nuestras guías a medida que las exploramos.

Se necesitaron muchas ecuaciones para llevarnos a donde estamos en la actualidad. Mi lista es una selección de algunas de las más influyentes, y cada una de ellas requiere de un montón de otras antes de pasar a ser útil en serio. Pero cada una merece la inclusión, porque desempeñó un papel fundamental en la historia. Pitágoras llevó a métodos prácticos para medir nuestras tierras y hacernos camino hacia otras nuevas. Newton nos dijo cómo se mueven los planetas y cómo enviar sondas espaciales para explorarlos. Maxwell proporcionó una pista vital que llevó a la radio, televisión y las comunicaciones modernas. Shannon obtuvo límites inevitables de cómo de eficientes pueden ser esas comunicaciones.

Con frecuencia, a lo que nos condujo una ecuación ha sido bastante diferente con respecto a lo que interesaba a su inventor/descubridor. ¿Quién habría predicho en el siglo XV que un número desconcertante, y aparentemente imposible, con el que nos tropezamos mientras resolvíamos problemas de álgebra estaría indeleblemente vinculado al mundo, todavía más desconcertante y aparentemente imposible, de la física cuántica —dejando de lado que esto pavimentaría el camino a instrumentos milagrosos que pueden resolver un millón de problemas de álgebra cada segundo, y permitiéndonos instantáneamente ser vistos y oídos por amigos al otro lado del planeta—? ¿Cómo habría reaccionado Fourier si se le hubiese dicho que su nuevo método para estudiar el flujo del calor se convertiría en máquina del tamaño de una baraja, capaz de pintar imágenes de un modoextraordinariamente preciso y detallado de cualquier cosa a la que esté apuntando, en color, incluso en movimiento, con miles de ellas contenidas en algo del tamaño de una moneda?

Las ecuaciones desencadenaron sucesos, y los sucesos, parafraseando al ex primer ministro británico Harold Macmillan, son los que nos dejan dormir por la noche. Cuando se libera una ecuación revolucionaria, desarrolla una vida propia. Las consecuencias pueden ser buenas o malas, incluso cuando la intención original era benevolente, como lo era para todo el mundo. La nueva física de Einstein nos dio un nuevo entendimiento del mundo, pero una de las cosas para las que la usamos fue para las armas nucleares. No tan directamente como reclama el mito popular, pero, no obstante, jugó su parte. La ecuación de Black- Scholes creó un sector financiero vibrante y luego amenazó con destruirlo.

Las ecuaciones son lo que hacemos de ellas, y el mundo puede cambiarse para lo peor, del mismo modo que para lo mejor. Hay muchos tipos de ecuaciones. Algunas son verdades matemáticas, tautologías; piensen en los logaritmos neperianos. Pero las tautologías todavía pueden ser ayudas potentes para el pensamiento y acción humana. Algunas son afirmaciones sobre el mundo físico, que según lo que sabemos podrían haber sido diferentes. Las ecuaciones de este tipo nos hablan de las leyes de la naturaleza, y al resolverlas nos dicen las consecuencias de dichas leyes. Algunas tienen ambos elementos: la ecuación del teorema de Pitágoras es un teorema en la geometría euclidiana, pero también gobierna las mediciones hechas por los topógrafos y los navegantes. Algunas son poco más que las definiciones, pero ellas y la información nos dicen mucho una vez que las hemos definido.

Algunas ecuaciones son universalmente válidas. Algunas describen el mundo muy exactamente, pero no perfectamente. Algunas son menos precisas, confinadas a reinos más limitados, aunque ofrecen un entendimiento vital. Algunas son básicamente erróneas sin más, aunque pueden actuar como peldaños hacia algo mejor. Todavía podrían tener un efecto enorme. Algunas incluso desvelan cuestiones difíciles, de naturaleza filosófica, sobre el mundo en que vivimos y nuestro lugar en él. El problema de las mediciones cuánticas, escenificadas por el desafortunado gato de Schrödinger, es una de ellas. La segunda ley de la termodinámica presenta temas profundos sobre el desorden y la flecha del tiempo. En ambos casos, algunas de las paradojas aparentes pueden ser resueltas, en parte, pensando menos en el contenido de la ecuación y más en el contexto en el que se aplica. No en los símbolos, sino en las condiciones de contorno. La flecha del tiempo no es un problema sobre la entropía; es un problema sobre el contexto en el cual pensamos en la entropía.

Las ecuaciones existentes pueden adquirir una nueva importancia. La búsqueda de la energía de fusión, como una alternativa limpia a la energíanuclear y los combustibles fósiles, requiere una comprensión de cómo un gas extremadamente caliente, formando un plasma, se mueve en un campo magnético. Los átomos del gas pierden electrones y pasan a estar eléctricamente cargados. De modo que es un problema en la magnetohidrodinámica, y se necesita una combinación de las ecuaciones existentes para fluidos y para electromagnetismo. La combinación llega a un nuevo fenómeno, sugiriendo cómo mantener el plasma estable a la temperatura necesaria para que se produzca la fusión. Las ecuaciones son viejas favoritas.

Hay (o podría haber) una ecuación, sobre todas, por la que los físicos y los cosmólogos darían su brazo derecho por ponerle las manos encima: una Teoría del Todo, la cual en la época de Einstein era llamada una teoría del campo unificado. Esta es la ecuación largamente buscada que unifica la mecánica cuántica y la relatividad, y Einstein pasó sus últimos años en una búsqueda sin frutos para encontrarla. Estas dos teorías son exitosas, pero sus éxitos suceden en dominios diferentes: el muy pequeño y el muy grande. Cuando se solapan, son incompatibles. Por ejemplo, la mecánica cuántica es lineal, la relatividad no lo es. Se busca una ecuación que explique por qué ambas son tan exitosas, pero que haga el trabajo de ambas sin inconsistencias lógicas. Hay muchas candidatas a la teoría del todo, la más conocida es la teoría de supercuerdas. Esta, entre otras cosas, introduce dimensiones extra del espacio; seis (siete en algunas versiones). Las supercuerdas son matemáticamente elegantes, pero no hay pruebas convincentes para ellas como una descripción de la naturaleza. En cualquier caso, es desesperadamente difícil llevar a cabo los cálculos necesarios para extraer predicciones cuantitativas a partir de la teoría de supercuerdas.

Hasta donde sabemos, podría no haber una teoría del todo. Todas nuestras ecuaciones para el mundo físico podrían ser solo modelos demasiado simplificados, que describen reinos de la naturaleza limitados en un modo que podemos comprender, pero no capturar la estructura profunda de la realidad. Incluso si la naturaleza realmente obedece leyes rígidas, podrían no ser ecuaciones expresables. Incluso si las ecuaciones son relevantes, no necesariamente son simples. Podrían ser tan complicadas que no podamos ni siquiera escribirlas. Los 3.000 millones de bases del ADN del genoma humano son, en cierto sentido, parte de la ecuación para el ser humano. Son parámetros que podrían insertarse en una ecuación más general para el desarrollo biológico. Es (apenas) posible imprimir el genoma en papel, necesitaríamos alrededor de dos mil libros de tamaño normal. Pero cabe en la memoria de un ordenador bastante fácilmente. Sin embargo, es solo una parte diminuta de una hipotética ecuación humana.

Cuando las ecuaciones se hacen complejas, necesitamos ayuda. Los ordenadores ya están extrayendo ecuaciones a partir de grandes conjuntos de datos, en circunstancias donde los métodos humanos habituales fracasan o son demasiado opacos para ser útiles. Una nueva aproximación llamada computación evolutiva extrae patrones significativos: específicamente fórmulas para cantidades que se conservan, cosas que no cambian. Uno de dichos sistemas llamado Eureqa, formulado por Michael Schmidt y Hod Lipson, ha alcanzado cierto éxito. Software como este podría ayudar. O podría no llevar a ningún sitio que realmente importe.

Algunos científicos, especialmente aquellos con formación en computación, creen que es el momento de que abandonemos las ecuaciones tradicionales, especialmente las continuas como las ecuaciones ordinarias o en derivadas parciales. El futuro es discreto, se presenta en números enteros, y las ecuaciones deberían dar paso a los algoritmos, recetas para calcular cosas. En lugar de resolver ecuaciones, deberíamos simular el mundo digitalmente ejecutando los algoritmos. De hecho, el propio mundo podría ser digital. Stephen Wolfram defendió esta visión en su polémico libro "A New Kind of Science" (Un nuevo tipo de ciencia), que aboga por un tipo de sistema complejo llamado un autómata celular. Esto es una matriz de células, habitualmente pequeños cuadrados, cada uno existiendo en una variedad de estados distintos. Las células interactúan con sus células vecinas según unas reglas fijadas. Se parece un poco a un juego de ordenador de los ochenta con bloques de colores persiguiéndose unos a otros por la pantalla.

Wolfram expone varias razones por las que los autómatas celulares deberían ser superiores a las ecuaciones matemáticas tradicionales. En concreto, algunos de ellos pueden llevar a cabo cualquier cálculo que pueda realizarse con un ordenador, siendo el más simple el famoso autómata Regla 110. Este puede encontrar dígitos sucesivos de r, resolver ecuaciones del problema de tres cuerpos numéricamente, implementar la fórmula de Black-Scholes para una opción de compra, lo que sea. Los métodos tradicionales para resolver ecuaciones son más limitados. Yo no encuentro este argumento demasiado convincente, porque es también cierto que cualquier autómata celular puede simularse por un sistema dinámico tradicional. Lo que cuenta no es si un sistema matemático puede simular a otro, sino cuál es más efectivo para resolver problemas o proporcionar algún entendimiento. Es más rápido sumar una serie tradicional para r a mano de lo que es calcular el mismo número de dígitos usando el autómata Regla 110.

Sin embargo, es todavía totalmente creíble que podríamos pronto encontrar nuevas leyes de la naturaleza basadas en estructuras y sistemas digitales discretos. El futuro quizá consista en algoritmos, no ecuaciones. Pero hasta que esa época comience, si lo hace, nuestro mayor entendimiento de las leyes de la naturaleza tiene la forma de ecuaciones, y deberíamos aprender a comprenderlas y apreciarlas. Las ecuaciones tienen una trayectoria. Realmente han cambiado el mundo, y lo cambiarán de nuevo.

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