Todos nosotros viajamos en el tiempo.
Sin ningún esfuerzo, y probablemente sin ninguna elección, nos movemos hacia el
futuro. La frase «viaje en el tiempo», sin embargo, está asociada con la idea
de desviarse del camino trazado y marchar hacia atrás en el tiempo. Explotando
el vocabulario que acabamos de desarrollar, podemos describir esto de una forma
más sutil. Supongamos que uno está presente en cierto suceso E. ¿Puede
volver a la misma posición en el espacio en un instante ligeramente anterior?
Esta posibilidad suena fantástica, por supuesto. Uno podría volverse atrás y
callarse la boca antes de hacer este comentario estúpido. Uno podría dejar de
invertir en esa compañía de alta tecnología que tan prometedora parecía hace un
año. Aquí no vamos a entretenernos en las cuestiones de consistencia lógica que
plantean tales fantasías. Aquí nuestra preocupación será más restringida;
sentar sólo las ideas básicas junto con el vocabulario. Lo que se describe aquí
en la introducción es sólo un mecanismo para el viaje en el tiempo:
probablemente el mecanismo más simple, o al menos el más simple de describir.
En otro ensayo describiré un mecanismo relacionado, aunque diferente, que
utiliza un campo gravitatorio intenso.
Una característica subyacente a todos
los mecanismos puede identificarse de entrada. Si uno pudiera volver a la
posición de E en un tiempo algunos instantes antes del suceso E,
entonces tras algunos instantes de espera uno estaría de nuevo en E.
Habría visitado dos veces el mismo suceso. Sería como si usted empezara en el
mismo punto en el ecuador y se dirigiera hacia el este sólo para volver a su
punto de partida; su camino se cerraría. Viajar en el tiempo desde el suceso E
a de nuevo E sería un camino similar en el espaciotiempo,
y los físicos espaciotemporales le llaman «camino o curva cerrada de género
tiempo». ¿Por qué «de género tiempo»? Porque cuando uno se mueve a lo largo de
dicho camino, siempre se está moviendo hacia adelante en el tiempo. Su reloj
está mostrando siempre números crecientes si es digital y las manecillas se
están moviendo en la dirección dextrógira si es analógico. El pequeño número de
núcleos radiactivos que hay en su cuerpo se está desintegrando; los fragmentos
radiactivos no se están acumulando en una antidesintegración.
Su corazón está bombeando en su forma habitual, no «hacia atrás en el tiempo» y
con la sangre fluyendo en la dirección equivocada. ¡Ay! uno está envejeciendo,
no rejuveneciendo. Y es su yo más viejo quien regresa (si ésta es la palabra
correcta) al suceso E en el espaciotiempo.
¿Cuánto se tarda en recorrer una curva
cerrada de género tiempo? La idea subyacente a un mecanismo básico está
contenida en esta figura.
Por simplicidad, dicho diagrama se repite aquí
(como figura 1) pero sólo con los sucesos B y C. Los sucesos B
y C están en el mismo instante (en el sistema de referencia de la
granjera que construyó este diagrama espaciotemporal), pero el suceso C
está H kilómetro más hacia la derecha que el suceso B. Supongamos ahora,
sólo supongamos, que hay un túnel secreto, un atajo en el espacio para ir desde
la posición del suceso B a la del suceso C. Supongamos además que
en la vía, en la señal de 1 kilómetro (la localización del suceso B),
hay lo que parece un pozo. Y supongamos que cuando uno se mete en dicho pozo,
se encuentra saliendo instantáneamente en la señal de 1,5 kilómetros a lo largo
de la vía (la localización del suceso C).
Podemos hacernos una idea de lo que
significa tal atajo. Probablemente es más fácil entender este atajo que la
geometría del espaciotiempo que pronto encontraremos.
Aquí al menos estamos trabajando sólo con un atajo en el espacio, no en el espaciotiempo. Más o menos, podemos representar el
espacio.
Consideremos una hoja plana de papel.
Nos gustaría que fuera de extensión infinita, pero sólo podemos imaginar e
ilustrar una parte finita de ella. Sobre la hoja de papel, mostrada a la
izquierda en la figura 2, se han marcado dos puntos en negro, B y C.
La distancia (es decir, la distancia más corta) entre estos dos puntos es,
digamos, 1 m. Pero supongamos que el papel se dobla como se muestra a la
derecha, y que hay un túnel minúsculo, una especie de puente o agujero de
gusano, desde el punto B al C. Aparte de la posibilidad de añadir
este agujero de gusano, nada importante cambia en el papel cuando lo doblamos.
En particular, todas las distancias medidas a lo largo del papel (por ejemplo,
la longitud de cualquier trazo de lápiz que hayamos dibujado) sigue siendo la
misma cuando se dobla el papel, de modo que la geometría del papel no cambia.
Pero el agujero de gusano nos proporciona un atajo de B a C, y
podemos hacer este atajo de agujero de gusano tan corto como queramos. Éste es
el tipo de agujero de gusano que queremos entre las señales de 1 kilómetro y
1,5 kilómetros en la vía del tren. El modelo del papel doblado no es perfecto,
por supuesto. Es una superficie bidimensional, y nosotros estamos interesados
en un agujero de gusano entre dos puntos en el mundo espacial tridimensional de
la granjera y la vía. (Sólo utilizamos una única dimensión espacial en nuestros
diagramas espaciotemporales, pero el agujero de gusano entre los dos puntos de
la vía tendrá que existir en tres dimensiones).
FIGURA 1. Dos sucesos que ocurren al mismo
tiempo en un sistema de referencia.
Hasta hace poco tiempo los científicos del
espacio-tiempo no pensaban mucho en agujeros de gusano que conectasen lugares
en el espacio. A mediados de la década de 1980, Kip Thorne
llegó a interesarse en la forma en que podrían utilizarse agujeros de gusano
espaciales para construir máquinas del tiempo, y pronto se vio a muchos físicos
del espaciotiempo agitando los brazos y discutiendo
sobre las bocas de los agujeros de gusano. Una explicación de cómo empezó todo
esto, a partir de una historia de ciencia-ficción de Carl Sagan,
puede encontrarse en el capítulo 14 del libro de divulgación de Kip Thorne Black Holes and Time Warps.
FIGURA 2. Un agujero de gusano que ataja entre dos puntos en una
geometría plana.
Pero ¿cómo llevan estos agujeros de
gusano espaciales al viaje en el tiempo (o — para utilizar un término más
serio— a curvas cerradas de género tiempo)? Para verlo, supongamos que algún
explorador espaciotemporal presencia el suceso B y, viajando rápidamente
a través del agujero de gusano espacial entre B y C, se encuentra
en el suceso C. Resulta que en el suceso C está pasando un tren
que viaja a 100 000 km/s. Es interesante ver qué aspecto tienen los sucesos B
y C en el sistema de referencia de dicho tren. Este es el diagrama
espaciotemporal:
Hasta ahora nuestro
explorador espaciotemporal ha viajado de B a C. Ahora debemos
pasar a suponer que el tren es suficientemente largo y que también lleva
un agujero de gusano espacial. Tenemos una suerte increíble: resulta que un
extremo (o «boca») de dicho agujero de gusano del tren está precisamente en la
señal de 1,5 kilómetros cuando el explorador surge del agujero de gusano de la
vía (suceso C). Sin pérdida de tiempo, se agarra al tren y salta a la
boca del agujero de gusano del tren que está precisamente frente a él; todo
esto es actividad en el suceso C. Y una suerte todavía más increíble:
resulta que la otra boca está en la marca de 0 kilómetros en el tren. El
explorador emerge de dicha boca, habiendo pasado un tiempo despreciable yendo
desde una boca del agujero de gusano muy corto a la otra. En la figura 3 se
indica el suceso de su emergencia de dicha boca como suceso D. Nótese
que los sucesos C y D están en la misma posición vertical en la figura 3.
Ésta es la materialización gráfica del hecho de que pasa un tiempo despreciable
entre la entrada y la salida del agujero de gusano del tren, de modo que la
entrada y la salida son esencialmente simultáneas (en el sistema de
referencia del tren), y la figura es, después de todo, una muestra de los
sucesos en dicho sistema de referencia.
FIGURA3. El espacio-tiempo para el sistema de referencia del tren en
movimiento.
Él ha recorrido ahora el camino B
C D. Aproximadamente en este instante, como uno podría imaginar,
su cabeza está dando vueltas, de modo que planta firmemente sus talones y se
queda quieto en el tren. Permanece en la misma posición en el sistema de
referencia del tren, pero no en el mismo instante. Al no moverse en el espacio,
se «mueve» en la figura 3 desde el suceso D al suceso B. Ha
completado una curva cerrada de género tiempo y ha vuelto a B, el lugar
y el tiempo en el que empezó.
Todo lo que se necesita para esta
«vuelta en el espaciotiempo» son dos cosas: primero,
es necesario rotar un poco las direcciones en el espaciotiempo.
Ésta es una consecuencia inmediata de la transformación de Lorentz
y pocos físicos la cuestionan. En segundo lugar, se necesitan agujeros de
gusano espaciales, y éstos han sido cuestionados por muchos físicos. La
pregunta no ha sido respondida aún, pero parece que las leyes de la física no
permiten agujeros de gusano espaciales, y con más generalidad no permiten
máquinas del tiempo. En el ensayo de Stephen Hawking se describe cómo los
efectos mecanocuánticos destruirían (probablemente)
cualquier agujero de gusano en ciernes.
¿Por
qué tiene una geometría el espacio-tiempo?
Aunque hay claras diferencias de
detalle entre diagramas espaciotemporales, mapas de sucesos y mapas de puntos
en un plano bidimensional, existen algunas similitudes fascinantes. Las dos
preguntas aquí son: (1) ¿son realmente el mismo tipo de objeto?, y (2) ¿qué
significa «mismo tipo de objeto»?
Las matemáticas de la rotación —las
ecuaciones de la transformación rotacional — son una expresión del hecho de que
existe una geometría para dicho plano. Existe una estricta relación
entre distancias que es inviolable, y cualquier forma de describir distancias
debe ser compatible con dicha realidad subyacente. Las matemáticas rotacionales
son simplemente la punta inevitable del iceberg. La geometría es el iceberg, la
vasta y sólida realidad.
¿Qué pasa con la transformación de Lorentz? ¿Hay también un iceberg debajo de esta punta? ¿Es
la transformación de Lorentz tan sólo una descripción
de una relación que está garantizada por una geometría de sucesos subyacente?
No hay respuesta a esto, puesto que no hay un significado inequívoco para la
realidad de las matemáticas subyacentes. Supongamos que se nos dieran las
matemáticas de la rotación y se nos dijera que describen exactamente la relación
entre medidas hechas por diferentes sistemas de referencia (los observadores en
el puente). Un metafísico podría afirmar, poniendo una cara muy seria, que la
existencia de la geometría es simplemente una construcción mental para
ayudarnos a recordar las matemáticas rotacionales. No es necesario considerar
que la geometría es real.
La mayoría de los físicos se muestran
poco pacientes ante tales argumentos. En el caso de la geometría del plano,
parece un juego absurdo «fingir» que la geometría no es real. Pero la defensa
real de la geometría no es exactamente de la variedad «yo sé lo que veo». Se
trata más bien de que la idea de que haya una geometría es
tremendamente útil. No sólo nos ayuda en efecto a recordar las matemáticas de
la rotación, sino que también nos ayuda a manipular las matemáticas y descubrir
nuevas relaciones. Aunque la geometría no sea real, resulta tan útil que su
propia utilidad la hace real.
Cuando Einstein propuso por primera vez
que la transformación de Lorentz describe la relación
entre coordenadas de sucesos en diferentes sistemas de referencia, no se
refería a cualquier geometría. En su artículo inicial de 1905 en donde exponía
la relatividad, Einstein presentaba la transformación de Lorentz
como la única realidad. Fue Hermann Minkowski quien señaló a Einstein que estas
transformaciones podrían verse como expresiones de una geometría subyacente,
algo que acabaríamos llamando la «geometría de Minkowski
del espaciotiempo de los sucesos». La geometría de Minkwoski estaba basada en el modo de asignar un nuevo tipo
de distancia a sucesos separados, una distancia que combinaba tiempo y espacio.
En diferentes sistemas de referencia habrá discrepancias sobre el tiempo que
separa los sucesos y sobre la distancia espacial entre ellos, pero habrá acuerdo
sobre la distancia de Minkowski.
Al principio, la geometría de Minkowski parecía una construcción interesante, pero esta
construcción se hizo rápidamente tan útil que se desvaneció la idea de que era
«sólo una construcción». Hoy la relatividad einsteiniana
es universalmente considerada como una descripción de un espaciotiempo
de sucesos con la geometría espaciotemporal de Minkowski,
y la transformación de Lorentz es una especie de
rotación en dicha geometría espaciotemporal.
¿Por qué es «curva» la
geometría del espacio-tiempo?
Una razón por la que la introducción
por parte de Minkowski de la idea de geometría
espaciotemporal resultaba tan importante es que permitió a Einstein utilizar la
idea de geometría espaciotemporal curva para describir la gravedad. La propia
frase «espaciotiempo curvo» tiene una imaginería tan
mística que demasiado a menudo se rechaza como incomprensible. Al menos en un
sentido, sin embargo, el argumento de que la gravedad curva el espaciotiempo no sólo es comprensible, sino que es
obligado. Lo que sí hay que abandonar es cualquier esperanza de
visualizar el espaciotiempo curvo con la misma
claridad con que se visualizan superficies espaciales bidimensionales curvas. No
hay que pensar que los teóricos del espacio tiempo constituyen una casta
sacerdotal de personas que pueden realmente representarse un espaciotiempo tetradimensional
curvo. No podemos hacerlo. (Espero no estar aquí hablando sólo en mi nombre).
¡Después de todo, es espaciotiempo! Y es tetradimensional. Dibujaremos diagramas, pero éstos serán
sugerentes, a menudo metafóricos y a veces potencialmente equívocos. Nuestra
incapacidad para representar el espaciotiempo curvo
nos reduce, pero no anula, nuestra capacidad para entenderlo. Aún tenemos
matemáticas, y aún tenemos palabras.
Las ideas empiezan con la consideración
de líneas de universo, las líneas que muestran los sucesos de un objeto a
medida que se mueve hacia adelante en el tiempo. Las líneas de universo en las
figuras
son las líneas de universo de trenes en
dos sistemas de referencia diferentes. Estas líneas de universo tienen una
inclinación constante (el ángulo a que se desvían de la vertical). Esto significa
que la cantidad de distancia que cambian por cantidad de tiempo es siempre la
misma: son líneas de universo de velocidad constante. Los objetos no irán a
velocidad constante si hay fuerzas actuando sobre ellos. Supongamos que en la
región del espaciotiempo ilustrada en la figura 11
hay cierta influencia eléctrica intensa. Por claridad, digamos que está causada
por una gran cantidad de carga eléctrica positiva en algún lugar a la derecha
de la figura.
Un objeto eléctricamente cargado en la
región de la figura 4 se aceleraría (es decir, cambiaría su velocidad) debido a
la influencia eléctrica. Este cambio en velocidad, esta aceleración, se
manifiesta en el diagrama espaciotemporal como la inclinación variable de una
línea de universo. Puesto que la línea de universo 1 en la figura es recta,
debe contar la historia de un objeto no cargado y, por consiguiente, no
acelerado. (Además de ser recta, la línea de universo es vertical, lo que
significa que el objeto no sólo no está acelerado, sino que también permanece
en una misma posición en este sistema de referencia). La forma de la línea de
universo 2 nos dice que la partícula que representa debe estar cargada
positivamente, puesto que se está acelerando y alejando de la carga positiva
(oculta en alguna parte a la derecha) que crea la influencia eléctrica.
Análogamente, la línea de universo 3 debe ilustrar los sucesos de una partícula
cargada negativamente. Si miramos más de cerca podemos ver que la línea de
universo 3 está curvada más espectacularmente que la línea de universo 2; su
partícula está experimentando una aceleración mayor. Las líneas de universo 2 y
3 podrían representar un protón y un electrón. Tienen cargas de igual magnitud
y signo opuesto, y la masa mucho más pequeña del electrón daría cuenta de la
curvatura más espectacular de la línea de universo 3.
FIGURA 4. Líneas de universo de una partícula en una región del espaciotiempo con influencia eléctrica.
Un punto crucial ilustrado por la
figura 4 es que cada línea de universo nos dice algo sobre las propiedades
físicas de la partícula que representa. Comparemos esto ahora con líneas de
universo que representan influencia gravitatoria. Supongamos que la región del espaciotiempo en la figura 5 está sometida a una influencia
gravitatoria debida a una gran cantidad de masa en alguna parte a la derecha de
la figura. Las líneas de universo 1, 2 y 3 representan una bola de bolos, un
tejido y un «abscual», respectivamente. Una bola de
bolos y un tejido, en ausencia de resistencia del aire, sufren exactamente la
misma aceleración bajo influencia gravitatoria; caen a la misma velocidad. Aquí
uso «abscual» para significar «absolutamente
cualquier objeto». Cualquiera que sea, caerá a la misma velocidad que la bola o
el tejido.
FIGURA 5. Líneas de universo de una partícula en una región del espaciotiempo con influencia gravitatoria.
El punto importante de la figura 5 es
que las líneas de universo curvadas nos dicen todo sobre la influencia de la
gravedad en esta región del espaciotiempo, y la misma
línea de universo describe la influencia de la gravedad para cualquier objeto.
El punto de vista muy razonable de Einstein era que la forma de la línea de
universo por sí misma —y no cierta «fuerza»— debería ser la descripción
adecuada de la gravedad. En la imagen de Einstein, los objetos que experimentan
sólo influencia gravitatoria se mueven sólo en líneas de universo especiales.
Los detalles de dichas líneas de universo contienen los detalles de la
influencia gravitatoria.
¿Cuáles son estas líneas especiales en
el espaciotiempo? En una región del espaciotiempo libre de gravedad —en el espaciotiempo
de Minkowski— los objetos que no sufren ninguna otra
influencia se mueven siempre en una dirección fija a velocidad constante. Sus
líneas de universo son rectas. De modo que sólo conocemos un ejemplo de líneas
especiales, y éste nos da una clave de cómo conjeturar lo que queremos en
general. Resulta que las líneas rectas no existen en cualquier geometría. Si
tratamos de construir curvas con todas las propiedades de líneas rectas,
normalmente fracasaremos. Consideremos el ejemplo habitual (y un buen ejemplo):
la superficie de una Tierra perfectamente esférica. ¿Podemos dibujar dos líneas
tales que la distancia de separación se mantiene constante tal como sucede con
las líneas paralelas? Si encontramos que es posible dibujar una línea
recta en cualquier dirección a través de un punto, decimos que estamos
trabajando en un espacio (o espaciotiempo) «plano».
Cualquier otro, por definición, es curvo.
En un espacio o espaciotiempo
curvo, existe una generalización sencilla del concepto de una línea recta: es
simplemente la curva más recta posible que puede dibujarse. Semejante curva
tiene el sofisticado nombre de «geodésica». Cuando consideramos una porción muy
pequeña de una geometría curva, parece casi plana. Si se dibuja una geodésica a
través de dicha pequeña porción, la geodésica será casi recta.
Para que la gravedad tenga sus
propiedades familiares, las líneas de universo de los objetos influidos por la
gravedad no pueden ser verdaderas líneas rectas. Consideremos un ejemplo
sencillo: dos satélites en órbita alrededor de la Tierra se cruzan, y unas
pocas órbitas después se cruzan de nuevo. Esto significa que las líneas de
universo de los satélites se tocan (o casi se tocan) en dos lugares. Las líneas
rectas no pueden hacer esto. La conclusión es inevitable: si hay que exhibir
efectos gravitatorios, entonces el espaciotiempo debe
ser curvo.
Aunque las matemáticas de las curvas
especiales, las geodésicas, no son triviales, tampoco son terriblemente
difíciles. Una vez que se especifica una geometría —es decir, una vez que se da
una fórmula que dice las distancias que separan puntos en un espacio o un espaciotiempo— es relativamente fácil encontrar las geodésicas.
En muchos cursos (normalmente de licenciatura) sobre la teoría de Einstein, las
matemáticas de las curvas especiales se estudian al principio. Lo que llega
mucho más tarde es la parte difícil de la teoría: la forma en que el contenido
del espaciotiempo (las estrellas, los planetas y
demás) determina la geometría espaciotemporal. Con mucha fortuna podemos pasar
por alto esta parte sin perder demasiado del sentido de la teoría. Sólo tenemos
que notar que hay una receta matemática para determinar la geometría del espaciotiempo.
© 2026 JAVIER DE
LUCAS