PARADOJA DE LOS
GEMELOS
En
muchos de los artículos que he escrito últimamente se describen fenómenos sobre
física fundamental que pueden parecer demasiado abstractos o complejos para un
público general. En este artículo me propongo "poner los pies en la
Tierra" y mostrar al lector, de forma sencilla, que no hace falta recurrir
a fenómenos "extraños" o "abstractos" basados en complejas
leyes de la física teórica para mostrar lo increíble y fascinante que es
nuestro Universo: basta con realizar un "simple" viaje desde la
Tierra a un lugar "cercano" situado a pocos años luz.
A
continuación veremos que no es necesario echar mano de nueva física o fenómenos
"exóticos" para descubrir fenómenos impresionantes: nuestro
Universo real, con la física actualmente conocida y establecida, es ya un
Universo repleto de fenómenos fascinantes.
Viajando a
"X-Centauri"
A
continuación iniciaremos nuestro viaje, el famoso viaje conocido popularmente
como "la paradoja de los gemelos": nosotros (el hermano gemelo Alex)
comenzamos nuestro viaje el 1 de Enero de 2022 hasta un hipotético planeta
llamado "X-Centauri" situado a tres años
luz de la Tierra mientras que nuestro hermano gemelo Alfonso permanece en la
Tierra. Pactamos con nuestro hermano que todos los años, exactamente a las
00:00 del 1 de Enero, le enviaremos una imagen nuestra con una felicitación de
año nuevo y le pedimos que él haga lo mismo. Supondremos que disponemos de una
nave capaz de viajar al 60% de la velocidad de la luz (3/5c). Alfonso, después
de hacer cuentas, esperaba recibir todos los años, el 1 de Enero, la
felicitación de su hermano Alex y encontrarse con él de nuevo en la Tierra
pasados 10 años de viaje (10*3/5c=6 años luz recorridos). Sin embargo,
esto es lo que sucede a la vuelta de su hermano:
- Alfonso:
Acordamos que me enviarías una imagen una vez al año en año nuevo y solo he
recibido ocho: una cada dos años los primeros ocho años y las otras cuatro ¡los
dos últimos años de viaje!
- Alex:
¡Imposible! Te envié la imagen cada año exactamente justo después de las uvas
de Nochevieja.
- Alfonso:
En cada imagen tu reloj iba más despacio que el mío
- Alex:
¡Imposible! Eran tus imágenes las que marcaban que tu reloj estaba atrasado
respecto al mío.
- Alfonso:
Menos mal que has cumplido tu promesa y has vuelto justo en 10 años.
- Alex:
¿10 años? ¡Pero si solo he estado fuera 8 años! ¿Por qué te estás burlando de
mí?
¿Qué demonios sucede aquí?
Por
supuesto, ambos hermanos están perplejos. Entonces deciden llamar a su primo
físico Alberto que accede a explicarles lo que ha sucedido realmente. Para
entender lo que está pasando sin recurrir a fórmulas engorrosas debemos dibujar
paso a paso la trayectoria espacio-temporal de los dos sistemas de referencia:
el de Alfonso en la Tierra y el de Alex dentro de la nave. Pero antes, debemos
conocer dos leyes fundamentales del Universo que habitamos.
Los dos pilares de la relatividad
Las
dos leyes fundamentales son las siguientes: todo observador medirá siempre
independientemente de su estado de movimiento la misma velocidad de la luz en
el vacío c y todo sistema de referencia inercial (sin aceleración) es
equivalente a cualquier otro. Estas leyes parecen sencillas pero sus
implicaciones cambiarán nuestra forma de ver el mundo para siempre.
Consideremos
a los dos gemelos en reposo, uno dispara un láser en el instante t=0 y mientras
que uno permanece en reposo el otro gemelo empieza a perseguir el rayo de luz a
una velocidad de 0,6c. Ambos deben medir la misma velocidad para el rayo de
luz, es decir, ambos verán que el rayo de luz permanece a la misma distancia ¡sin
importar a la velocidad que viaje el gemelo que persigue el rayo de luz! Para
que algo así sea posible y la constante v=espacio/tiempo=c permanezca constante
para ambos sistemas de referencia, solo existe una posibilidad: el gemelo
en reposo debe medir que para el otro gemelo el espacio y el tiempo
disminuyen al aumentar v. Esta "reducción" en el espacio y el
tiempo "compensa" la "velocidad extra" que posee el gemelo
que avanza hacia el rayo de luz.
Por
tanto, en cada sistema de referencia, el gemelo considerado en reposo verá que para
el gemelo viajero la longitud del trayecto disminuye y el tiempo se
ralentiza en una cantidad dada por el factor de Lorentz.
En nuestro caso v=3/5c, y conociendo que el factor Lorentz
es:
obtenemos
un factor Lorentz de 5/4. Por tanto, el
tiempo para el sistema relativista será contraído por un factor 1/(5/4)=4/5.
En la siguiente tabla mostramos la contracción temporal que corresponde al
gemelo que viaja en la nave:
Por
tanto, mientras que para el sistema en reposo el viaje dura 10 años,
para el sistema
El sistema de referencia de la Tierra
Desde
el sistema de referencia terrestre es la Tierra la que está en reposo y es el
viajero el que se mueve en el espacio-tiempo. Dibujaremos en el eje x la
dimensión espacial y en el eje y la dimensión temporal. En el sistema de
referencia de la Tierra el viaje durará 10 años, así que dividimos el eje
vertical en 10 partes:
A
continuación situamos nuestro planeta X-Centauri a 3
años luz de distancia en el eje X. Para el viajero el viaje dura solo 8 años (4
de ida y 4 de vuelta) por lo que en el diagrama anterior debemos dibujar dos
rectas con 4 divisiones cada una. La velocidad de 3/5c se corresponde, en
unidades de años luz, con una recta con una pendiente de x/y=3/5 por tanto:
Ya solo falta añadir las trayectorias de los rayos de luz y las líneas de
simultaneidad entre ambos sistemas de referencia. La trayectoria de un rayo de
luz corresponde a una pendiente de x/y=1 es decir, 45º de inclinación, mientras
que las líneas de simultaneidad entre ambos sistemas de referencia serán rectas
de pendiente 1/(3/5)=5/3. Al dibujarlas obtenemos nuestro diagrama
espacio-temporal completo:
Las
líneas con flechas marrones y azules de 45º son las líneas de los rayos de luz
enviados entre la Tierra y la nave espacial. Las líneas grises son rectas de
inclinación 5/3 y representan las líneas de simultaneidad desde el punto de
vista del viajero. Las líneas de simultaneidad con
respecto a la Tierra son simplemente rectas horizontales (no dibujadas).
Solamente
con echar un vistazo al diagrama espacio-temporal anterior nos topamos de golpe
con ese Universo "extraño" y fascinante del que hablábamos en el
comienzo de este artículo. El primer fenómeno "extraño" es el
siguiente: si vemos las líneas de simultaneidad entre ambos sistemas de
referencia encontramos que tanto el viajero como el observador terrestre
encuentran que el tiempo se mueve más despacio para el otro gemelo. Por
ejemplo, el primer año para el viajero se produce cuando solo han pasado 0,8
años en la Tierra (línea gris) y viceversa (trazar línea horizontal desde la
primera división del eje vertical).
¿Como es esto posible? ¿Quién tiene razón? ¿Que demonios significa esto?
El fenómeno extraño número dos no es menos impactante: observando el eje
vertical que representa el sistema de referencia de la Tierra podemos verificar
que el gemelo terrestre recibe una señal (anual desde el punto de vista
del gemelo viajero) cada dos años los ocho primeros años terrestres y dos
señales por año los dos últimos años.
Esto
supone un total de solo ¡8 señales! ¿Cómo? Se
puede imaginar la
perplejidad del hermano terrestre. Lo primero que pensará es que su hermano
gemelo está haciendo trampas para burlarse de él.
El fenómeno extraño número tres también es impactante: justo en el punto de
retorno del viajero en el año cuatro de viaje las líneas
de simultaneidad saltan súbitamente de 3,2 a 6,8 años terrestres, es decir,
justo en el instante en el que Alex cambia su dirección ¡Alfonso envejece de
golpe varios años!
El
fenómeno extraño número cuatro ya es de sobra conocido: cuando el hermano
gemelo vuelve a la Tierra y ambos hermanos comparan sus cronómetros uno
encuentra que han pasado 10 años y el otro ¡solo ocho años!
A
continuación trataremos de dar respuestas a estos extraños fenómenos sin
recurrir a fórmulas complejas.
El sistema de referencia de la nave espacial
A
continuación dibujaremos el diagrama espacio-temporal desde el sistema de
referencia del gemelo viajero. El viaje de Alex se compone de dos partes muy
diferentes:
Trayecto de ida
En
el trayecto de ida se mantiene la "simetría" con respecto al caso
anterior: un sistema se puede considerar en reposo y el otro moviéndose a
velocidad constante. Ahora es Alex el que se considera en reposo y es la Tierra
la que se aleja de el a -3/5c. Por tanto dibujamos la nave espacial en el eje
vertical y a la Tierra viajando en el espacio en una recta de pendiente -3/5c:
Como puede verse el gráfico es coherente con el del caso anterior: los 4 años
del trayecto de ida para Alex son solo 3.2 años para Alfonso y en ese tiempo la
Tierra se ha alejado 2,4 años luz de distancia (trazar linea
horizontal desde el valor 3,2 en el eje y en el gráfico anterior).
Trayecto de vuelta
Pero
una vez llegados a nuestro destino la "simetría" con respecto a los
casos anteriores se rompe: debemos frenar, girar, y volver a acelerar hasta
alcanzar la misma velocidad que en el trayecto de ida pero en el sentido
contrario.
Supondremos
que los intervalos de frenado-giro-aceleración son muy cortos comparables con
el resto del viaje (a pesar de que tardaríamos 9 meses en alcanzar esa
velocidad acelerando a 1g) y podemos despreciarlos (aunque como veremos estos
fenómenos son esenciales para entender todo el proceso). Justo en el instante
en el que comienza el viaje de vuelta el sistema de referencia ha cambiado,
ahora los dos sistemas se mueven el uno hacia el otro (ya que ambos
sistemas acaban encontrándose en el mismo "punto" del espacio-tiempo).
Debido
a esto la velocidad relativa entre ambos sistemas ya no es -3/5c sino
-(3/5c)-(3/5c), lo que produce, utilizando la fórmula de adición de velocidades
relativistas, una velocidad de -15/17c.
¡Esto
explica porque Alex recibe con más frecuencia los mensajes de Alfonso cuando
vuelve!
Puede
verse más intuitivamente completando la gráfica anterior: transcurridos 10 años
desde el punto de vista Terrestre ambos sistemas de referencia deben
encontrarse, por ello, debemos trazar una recta desde el punto y=4 hasta la
división número 10 de la recta Terrestre. El diagrama espacio-temporal final
será:
Podemos
comprobar que la pendiente de la recta que hemos dibujado es exactamente
-15/17. Si comparamos ambos diagramas vemos que ambos coinciden: Alfonso recibe
los 4 primeros mensajes a razón de uno cada dos años y los otros cuatro a razón
de 2 cada año mientras que Alex recibe los dos primeros mensajes cada dos años
y los ocho siguientes a razón de 2 por año. Uno de los motivos responsables de
esta asimetría es fácil de entender: durante el trayecto de ida Alex se aleja
de Alfonso y por tanto los haces de luz tardan más en llegar mientras que en el
trayecto de vuelta ambos sistemas se acercan y reciben "de golpe" los
haces de luz que faltaban por recibir.
El
otro responsable de la asimetría es puramente relativista: el salto de las líneas de simultaneidad es debido el súbito cambio de
referencia al iniciar la vuelta. En ese instante el gemelo cambia de una
"linea de mundo" con cierta secuencia de
valores de espacio y de tiempo a otra "linea de
mundo" diferente con una secuencia espacio-temporal diferente. De hecho,
el factor de contracción Lorentz a la vuelta es de
17/8 mucho mayor que el de la ida de 5/4. Por tanto, justo en el instante en el
que Alex comienza la vuelta los valores de espacio y de tiempo se actualizan
instantáneamente lo que produce el salto en las líneas
de simultaneidad.
Asimilando la
"paradoja" de los gemelos
Llegados
a este punto seguramente el lector (al igual que el autor) tenga una sensación
extraña: ¿Como demonios es esto posible? Esta
sensación es debida al choque frontal entre nuestra experiencia cotidiana y la
realidad mostrada por las leyes de la física
relativista.
¿Como es posible que ambos relojes no coincidan en el
punto de encuentro?
Una
forma más "intuitiva" de verlo es asimilando que nuestro Universo no
es el mundo tridimensional que nos muestra nuestros sentidos, el Universo tiene
4 dimensiones.
Fijémonos
por ejemplo en trayecto de ida en el sistema de referencia terrestre:
El
vector azul representa el intervalo espacio-temporal terrestre y el rojo el de
la nave espacial. El gemelo terrestre "ve" 5 "unidades de
tiempo" y 0 de espacio mientras que el gemelo viajero "ve" solo
4 unidades de tiempo y 3 de espacio. Por tanto el gemelo viajero viaja "mas despacio" en la dimensión
temporal y por eso envejece más lento. Ambos gemelos ven diferentes
"proyecciones" de la misma entidad: un vector cuatridimensional
invariante.
Un
sistema en reposo como la Tierra viaja prácticamente el 100% en el tiempo y el
0% en el espacio mientras que un viajero en una nave espacial a 3/5c viaja 3
partes de espacio por cada 5 de tiempo. Esto nos indica que cuando se
encuentran el gemelo viajero ha viajado menos en el tiempo y por tanto es más
joven. Sin embargo, el intervalo espacio-temporal cuatridimensional
no varía es el mismo para todos los observadores. Esto puede verse
fácilmente considerando el intervalo cuatridimensional
(el módulo del vector en cuatro dimensiones) que es:
Considerando solo el eje x tenemos que el intervalo espacio temporal cuatridimensional para la Tierra es :
(S1)^2= (tiempo^2,ejex^2,ejey^2,ejez^2)
(S1)^2=(5^2,0,0,0)=25
Mientras
que para el sistema de referencia de la nave tenemos:
(S2)^2=(tiempo'^2,ejex'^2,ejey'^2,ejez'^2)
(S2)^2=(4^2,3^2,0,0)=16+9=25
¡Para
un ente cuatridimensional el intervalo
espacio-temporal es siempre el mismo!
Las
"proyecciones" del mismo vector 4-dimensional (linea
roja)en un sistema de referencia en reposo (linea verde) y en un sistema de referencia relativista con
los ejes girados (linea azul)
Para
finalizar trataremos de responder a los principales interrogantes que se pueden
plantear respecto a esta aparente paradoja de los gemelos:
- Si
ambos gemelos "ven" que el otro envejece más lento ¿Como se decide cual de los dos es
más viejo en el punto de encuentro?
La
respuesta es que la situación no es simétrica como parece: uno de los gemelos
se encuentra siempre en un sistema inercial mientras que el otro está sometido
a fuerzas de aceleración que pueden ser medidas localmente. Es este
último gemelo el que ha envejecido menos y el que será más joven en el punto de
encuentro. Por este motivo la "paradoja" de los gemelos no es
realmente una paradoja sino que es perfectamente explicable por la teoría de la
relatividad especial ya que ambos sistemas no son equivalentes.
- ¿Que papel juega la aceleración?
Algunos
trabajos afirman que es la aceleración necesaria para cambiar de sistema de
referencia la que produce la dilatación espacio-temporal ya que, debido al
principio de equivalencia, es como si el reloj del viajero estuviese inmerso en
un potencial gravitatorio. Sin embargo, puede demostrarse (por ejemplo usando
dos sistemas de referencia inerciales que viajan en sentido contrario y que
justo en el punto de retorno se encuentran y transfieren sus relojes) que este
fenómeno es explicado usando solamente la relatividad especial.
- ¿Ha pasado "realmente" el tiempo más lento para el gemelo que
viaja? Es decir, ¿El tiempo "biológico" que siente el gemelo viajante
también se ralentiza?
Toda
la materia que existe en el Universo, incluyendo por supuesto nuestros cuerpos
biológicos, está formada de átomos. Todos los procesos físicos atómicos (salvo
unos pocos fenómenos nucleares) son procesos electromagnéticos basados,
a nivel fundamental, en el intercambio de fotones que viajan a la
velocidad de la luz. Por tanto, cualquier magnitud de distancia atómica como el
radio de Bohr o cualquier magnitud de tiempo atómico como el tiempo de
transición entre distintos niveles de energía en un átomo están sujetos a los
procesos relativistas de contracción espacial y dilatación temporal.
-
¿Tiene más tiempo para "hacer
cosas" el gemelo que permanece en la Tierra? Es decir, si registrásemos
segundo a segundo ambos trayectos veríamos realmente que el gemelo viajante a vivido menos tiempo?
Efectivamente,
en el encuentro, Alfonso ha vivido dos años más que Alex y ha tenido más tiempo
útil que él como lo demuestra el hecho de haber podido enviar 10 mensajes al
contrario que Alex que solo ha podido enviar 8.
Si
llegados a este punto el lector aun no está
convencido, puede verificar que todo esto es correcto recurriendo a la fórmula Doppler relativista. El desplazamiento de la frecuencia
será:
Por ejemplo si consideramos una velocidad media de v=12/13c tenemos que:
Por tanto la frecuencia media de los mensajes recibidos por Alex es:
Lo
que nos indica correctamente que durante ese periodo, a esa velocidad media,
Alfonso hubiera envejecido 13/5 más que Alex.