LA PARADOJA DE GÖDEL

Como primer gran paso, Gödel expuso cómo es posible construir una fórmula aritmética "G" que represente la siguiente declaración matemática:

“La fórmula G no es demostrable”

Esta fórmula matemática nos dice de manera sobresaliente, de sí misma, que no es demostrable. En cierto modo, G está construída de manera análoga a la paradoja de Richard (expuesta por vez primera en 1905 por el matemático francés Jules Antoine Richard) que es semejante a la  paradoja de Berry (la paradoja de Richard nació a raíz de dos afirmaciones contradictorias hechas por matemáticos eminentes: en la Revue générale des Sciences pures et apliquées apareció un editorial en donde se hablaba sobre dos afirmaciones contradictorias realizadas en un poco más de un mes por Julius König que dijo que “el continuo no posee un buen orden”, mientras que poco tiempo más tarde Ernst Zermelo dió una prueba de que “todo conjunto podía dotarse de un buen orden”. Richard argumentó que no era necesario acudir a la teoría de conjuntos ordinales para encontrar tales paradojas y proponía su propia versión más sencilla de enunciar).

En la paradoja de Richard, la expresión “richardiano” se asocia a cierto número n, con lo cual se puede construir la proposición lógica “n es richardiano”. En la argumentación de Gödel la fórmula G es asociada a un cierto número h y es construída de tal modo que corresponda a la declaración “la fórmula que tiene el número asociado h no es demostrable”.

Como segundo gran paso, Gödel demostró también que G es demostrable si y solamente si es demostrable su negación formal ∼G.. Este paso de la argumentación es análogo al paso de la paradoja de Richard en el que se demuestra que n es richardiano si y solamente si n no es richardiano (precisamente en esto consiste la paradoja). Lo más importante de todo es que si una fórmula y su negación son ambas formalmente demostrables, el cálculo aritmético no es consistente. Por lo tanto, y procediendo a la inversa, si el cálculo es consistente, ni G ni G son formalmente derivables de los axiomas de la aritmética. Por lo tanto, si la aritmética es consistente, G es una fórmula formalmente indecidible.

En el tercer gran paso, Gödel demostró que aunque G no sea formalmente demostrable, es sin embargo una fórmula aritmética verdadera, y es verdadera en el sentido de que afirma que todo número entero posee una cierta propiedad aritmética que puede ser exactamente definida y representada en cualquier número entero que sea examinado.

En el cuarto gran paso, Gödel demostró que puesto que G es al mismo tiempo verdadera y formalmente indecidible, los axiomas de la aritmética son incompletos. Puesto de otra manera, no podemos deducir todas las verdades aritméticas de los axiomas.

Gödel demostró además que la aritmética es esencialmente incompleta. Aún cuando se admitiesen nuevos axiomas de forma tal que la fórmula verdadera G pudiera ser formalmente derivada de la serie incrementada de axiomas, todavía podría construirse otra fórmula nueva tomada como verdadera pero también formalmente indecidible.

En el quinto paso, Gödel describió cómo construir una fórmula aritmética A que represente a la proposición matemática:
“la aritmérica es consistente”, y demostró que la fórmula:

es formalmente demostrable, tras lo cual demostró que la fórmula A no es demostrable. De esto último se concluye que la consistencia de la aritmética no puede ser establecida por un argumento que pueda hallarse representado en el cálculo aritmético formal.

Respecto al primer gran paso, si la fórmula

representa dentro de la aritmética formalizada la proposición matemática:
“la sucesión de fórmulas con número Gödel x es una prueba de la fórmula con número Gödel z”, entonces la negación lógica de dicha proposición:

‘∼ Dem(x,z)’

representa dentro de la aritmética formalizada la proposición matemática:

“la sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número Gödel z”

A continuación introduciremos el prefijo ‘(x)’ en la fórmula Dem. El prefijo realiza en nuestro sistema formalizado la misma tarea que la frase ‘para todo x’. Al anteponer el prefijo a lo anterior se obtiene entonces la fórmula modificada:

‘(x) ∼Dem(x,z)’

que representa dentro de la aritmética a la proposición matemática:

“para todo x, la sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número Gödel z”

Hemos llevado a cabo pues una generalización, dejando en claro que la proposición matemática es válida para todo x y no solamente para algún valor particular o algunos valores particulares de x.
La nueva fórmula es por lo tanto la paráfrasis formal dentro del cálculo de la proposición matemática “la fórmula con número Gödel no es demostrable”. Podemos enunciar lo mismo de una manera ligeramente distinta pero con igual significado, diciendo “no puede aducirse ninguna prueba para la fórmula con número Gödel z”.

Lo anterior es, como ya dije, una generalización, resaltada explícitamente con la aserción “para todo x” introducida mediante el prefijo ‘(x)’. Ahora pasaremos del caso general a un caso especial. Gödel demostró que un caso particular de esta fórmula no es formalmente demostrable. Podemos construir este caso especial empezando con la fórmula:

(x) ∼ Dem(x, sust[y, 13, y])

La fórmula puesta arriba, en el sentido estricto de la lógica formal, pertenece al cálculo aritmético, aunque debe representar alguna proposición matemática. ¿Pero cuál? Es aquí cuando se debe considerar que, a fin de cuentas, la expresión “sust(y,13,y)” representa un número, y el número que representa es el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número  Gödel y sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de y. Hay que fijarse bien en una cosa: aunque “sust(y,13,y)” es una expresión de la aritmética formalizada, en realidad no es una fórmula, sino una función-nombre para identificar un número. El número así identificado sin embargo es el número Gödel de una fórmula que es a su vez la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel  y sustituyendo la variable y por el numeral de y.

De lo anterior resulta evidente que la fórmula:

(x) ∼ Dem(x, sust[y, 13, y])

representa a la proposición matemática “la fórmula de número Gödel sust(y,13,y) no es demostrable”. Podemos expresar la misma proposición de una manera más extensa de la siguiente forma: “la fórmula cuyo número Gödel es el número de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel y sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el númeral de y no es demostrable”.

En virtud de que la fórmula:

pertenece al cálculo aritmético, tiene un número Gödel que puede ser calculado por métodos aritméticos. Supóngase que el número Gödel de la fórmula es n. Sustituyendo la variable de número Gödel 13 (o sea, la variable ‘y’) por el numeral de n se obtiene una nueva fórmula que simbolizaremos como G (de Gödel) y que podemos rotular de la siguiente manera:

G)     (x) ∼ Dem(x, sust[n, 13, n])

Esta fórmula G es precisamente el caso especial del que habíamos estado hablando. La nueva fórmula se produce dentro del cálculo aritmético y por lo tanto debe tener un número Gödel. ¿Pero cuál es ese número? Indudablemente tal número Gödel debe ser sust(n,13,n). Debemos recordar que sust(n,13,n) es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel n sustituyendo la variable de número Gödel 13 (o sea la variable y) por el numeral de n. Pero la fórmula G ha sido obtenida a partir de la fórmula de número Gödel n, o sea de la fórmula:

(x) ∼ Dem(x, sust[y, 13, y])

sustituyendo la variable y existente en ella por el numeral de n. Consecuentemente, el número Gödel de G es, en efecto, sust(n,13,n).

Sin embargo, hay que recordar también que la fórmula G es la imagen reflejada dentro del cálculo aritmético de la proposición matemática “La fórmula de númereo Gödel sust(n,13,n) no es demostrable”. De lo cual se deduce que la fórmula aritmética:

(x) ∼ Dem(x, sust[n, 13, n])

“La fórmula ‘(x) ∼ Dem(x,sust[n,13,n])’ no es demostrable”

Por lo tanto, en cierto modo, la fórmula aritmética G puede ser construída como afirmando de sí misma que no es demostrable.

Ahora entraremos en mayores detalles en lo que más arriba se enunció simplemente como las generalidades del segundo gran paso, que es la prueba de que G no es formalmente demostrable. La demostración de Gödel se asemeja a la paradoja de Richard pero sin incurrir en el razonamiento falaz de la paradoja de Richard, y la argumentación es relativamente sencilla. Se desarrolla haciendo ver que si la fórmula G fuese demostrable, entonces su contradictoria formal, o sea la fórmula:

‘∼ (x) ∼ Dem(x,sust[n,13,n])’

también sería demostrable, e inversamente, que si la contradictoria formal de G fuese demostrable, entonces también la propia G sería demostrable. Se tiene pues que G es demostrable si y solo si ∼G (su negación) es demostrable.

En estricto sentido de la palabra, esto último no fue lo que demostró Gödel, y lo que se ha puesto arriba es una adaptación de un teorema obtenido en 1936 por John Barkley Rosser que se emplea aquí con la finalidad de obtener una mayor claridad y sencillez en la exposición. Lo que realmente demostró Gödel es que si G es demostrable, entonces ∼G es demostrable con lo cual la aritmética es ω-inconsistente. ¿Pero qué exactamente es la ω-inconsistencia? Lo podemos enunciar de manera formal del modo siguiente:

Una teoría aritmética es ω-inconsistente> si, para alguno de sus teoremas formales de la forma ∃x, φ(x), puede refutarse cualquier caso particular, esto es, puede probarse ∼φ([n]), para cada numeral [n]. De una teoría que no es ω-inconsistente se dice ω-consistente.

A lo anterior se agrega que los numerales [n] son los símbolos que utilice el lenguaje de la teoría para especificar los números naturales concretos. Si se trata de los números naturales generados en la aritmética basada en los axiomas de Peano, los numerales son los símbolos dados por [0] ≡ 0, [1] ≡ s0 (el sucesor inmediato de cero es 1), [2] ≡ ss0 (el sucesor del sucesor de cero 2), etc. La ω-consistencia implica la consistencia (pero no al revés). El enunciado «fuerte», en el que sólo se requiere la consistencia de la teoría es lo que fue probado por John Barkley Rosser mediante un método muy similar. Para mayor claridad, sea ‘P’ algún predicado aritmético. Entonces la aritmética sería ω-inconsistente si fuese posible demostrar la fórmula:

que se lee como “existe por lo menos un número que tiene la propiedad P”, como cada una de la serie infinita de fórmulas:
‘∼P(0)’ , ‘∼P(1)’ , ‘∼P(2)’ , etcétera
que a su vez se leen como:
‘0’ no tiene la propiedad P

y así sucesivamente. No se requiere de mucho esfuerzo para darse cuenta de que si el cálculo es inconsistente, entonces también tiene que ser ω-inconsistente, aunque lo contrario no es necesariamente cierto ya que un sistema puede ser ω-inconsistente sin ser inconsistente; esto último en virtud de que para que un sistema sea inconsistente deben ser demostrables tanto:
‘(∃x)P(x)’como:
(x) ∼P(x)

Sin embargo, aunque si un sistema es ω-inconsistente son demostrables tanto ‘(∃x)P(x)’ como:
‘∼P(0)’ , ‘∼P(1)’ , ‘∼P(2)’ , etcétera, la fórmula ‘(x) ∼P(x)’ puede, no obstante, no ser demostrable, con lo que el sistema no es inconsistente. La primera parte de la argumentación original de Gödel que afirma que si G es demostrable entonces también es demostrable su negación ∼G se puede esbozar del modo siguiente: Supongamos que la fórmula G fuese demostrable. Siendo así, tendría que haber dentro de la aritmética misma una sucesión de pruebas que constituyese una prueba para G. Sea k el número Gödel de dicha prueba. Consecuentemente, la relación aritmética designada por ‘Dem(x,z)’ debe mantenerse entre k, el número Gödel de la prueba, y sust(n,13,n) que viene siendo el número Gödel de G, lo cual equivale a decir que:

tiene que ser una fórmula aritmética verdadera. Sin embargo, se puede demostrar que esta relación aritmética es de un tipo tal que si dicha relación se da entre un par definido de números entonces la fórmula que expresa este hecho es demostrable. Por lo tanto, la fórmula ‘Dem(k, sust(n,13,n))’ no solo es verdadera, sino que es también formalmente demostrable. Expresado en términos más familiares, la fórmula es un teorema. Pero usando las reglas de transformación de la lógica elemental, podemos derivar de inmediato de este teorema la fórmula:

Con esto se ha demostrado que si la fórmula G es demostrable, su negación formal también es demostrable. De donde se concluye que si el sistema formal es consistente, la fórmula G no es demostrable. Se requiere de un razonamiento análogo aunque más elaborado para poder demostrar que si ∼G es demostrable entonces también G es demostrable.

En general, si de un conjunto de axiomas pueden ser derivadas tanto una fórmula como su negación formal, tales axiomas no son consistentes. De lo cual se deduce que si los axiomas del sistema formalizado de la aritmética (verbigracia, los axiomas de Peano) son consistentes, entonces ni la fórmula G ni su negación son demostrables. En resumen, si los axiomas son consistentes, G es formalmente indecidible, en el sentido técnico preciso de la palabra de que ni G ni su negación pueden ser formalmente deducidas de los axiomas.

Todo lo anterior nos lleva a lo que fue sintetizado a manera de preludio de lo que fue el tercer gran paso. La conclusión que se acaba de obtener arriba no parece ser algo que merezca mayor importancia. Cabe preguntarse el por qué pueda ser tan digno de consideración el que pueda construirse dentro de la aritmética usando el mismo lenguaje de la aritmética una fórmula que sea indecidible. En esto radica la revelación a la que nos conduce el tercer gran paso en la demostración del teorema de Gödel que arroja luz sobre las enormes consecuencias e implicaciones del resultado que se ha obtenido. Resulta que aunque la fórmula G sea indecidible, si los axiomas del sistema son consistentes (o sea que no se contradicen entre sí) entonces puede no obstante demostrarse mediante un razonamiento metamatemático que G es verdadera. En otras palabras, se puede demostrar que G formula una compleja pero bien definida propiedad numérica que se da necesariamente en todos los números enteros, del mismo modo que la fórmula:

‘(x) ∼(x + 3 = 2)’

que se lee literalmente como “ningún número cardinal al que se añada 3 da una suma igual a 2” expresa otra propiedad igualmente necesaria aunque más sencilla de todos los números enteros.
El razonamiento lógico de carácter formal que le da validez a la verdad de la fórmula indedicible G es impecable. Bajo la hipótesis de que la aritmética es consistente se ha demostrado la verdad de la proposición matemática:

Se encuentra entonces que esta proposición se halla representada dentro de la aritmética por la misma fórmula mencionada en la proposición. En este punto hay que recordar que las proposiciones matemáticas han sido representadas en el formalismo aritmético de tal forma que las proposiciones matemáticas verdaderas correspondan a fórmulas aritméticas verdaderas. El establecimiento de tal correspondencia biunívoca es la razón de ser de la representación; de la misma manera que ocurre en la geometría analítica en la que gracias a una correspondencia de este tipo las proposiciones geométricas que vemos esquematizadas en el plano Cartesiano corresponden siempre a proposiciones algebraicas verdaderas. De lo cual se desprende que la fórmula G que corresponde a una proposición matemática verdadera debe ser también verdadera. Hay que resaltar el hecho de que se ha establecido una verdad aritmética no deduciéndola formalmente de los axiomas de la aritmética sino mediante el uso de un argumento metamatemático.

En el cuarto gran paso de la demostración del teorema de Gödel se recurre a la noción de completitud establecida en el cálculo proposicional: los axiomas de un sistema deductivo son completos si todas las proposiciones verdaderas que puedan expresarse en el sistema se pueden deducir de los axiomas. En caso de no ser así, si no toda proposición que se pueda expresar en el sistema se puede deducir a partir de los axiomas, entonces los axiomas son incompletos. En virtud de que se acaba que G es una fórmula verdadera de la aritmética que no es deducible formalmente dentro de ella a partir de sus axiomas (o sea los axiomas de Peano), se deduce que los axiomas de la aritmética son incompletos sobre la hipótesis de que tales axiomas son consistentes. Pero los axiomas son además esencialmente incompletos porque aún si fuera introducida la fómula G como un nuevo axioma, el conjunto de axiomas así aumentado sería todavía insuficiente para producir todas las verdades aritméticas, ya que si los axiomas iniciales fueran ampliados de la manera indicada, de cualquier modo aún así podría construirse otra fórmula aritmética verdadera pero igualmente indecidible dentro del ampliado sistema de axiomas, ya que tal fórmula podría construirse con el solo hecho de repetir en el nuevo sistema ensanchado el procedimiento empleado originalmente para hallar una fórmula verdadera pero indecidible en el sistema inicial. Esta conclusión se mantiene en pie de manera independiente del número de veces que se vaya ampliando el sistema inicial, y la ampliación se puede ir continuando hasta el mismo infinito.

Existe pues una limitación de carácter fundamental en el alcance y la eficacia del método axiomático introducido desde hace dos mil años por Euclides. En contra de lo que se pudiera haber previsto en el pasado, el vasto edificio de la verdad aritmética no puede ser reducido a un orden sistemático asentado sobre un conjunto reducido y finito de axiomas del que pueda derivarse formalmente toda proposición aritmética verdadera. Por esto mismo el teorema de Gödel es conocido como el teorema de incompletitud de Gödel. La aritmética básica, que es el pilar fundamental sobre el cual descansa toda la estructura de las matemáticas, es esencialmente incompleta en el sentido de que nunca podrá contener todos los axiomas necesarios para poder deducir todas las proposiciones posibles, y si la aritmética es incompleta, todo lo que tenga que ver con el resto de las matemáticas también lo es. Se desprende entonces que el propósito original del programa iniciado por Russell y Whitehead en sus Principia Mathematica era algo imposible de realizar, porque partían de un sistema de axiomas que era esencialmente incompleto en el sentido de que no todas las proposiciones concebibles que se pudieran formular se podían obtener a partir de tal conjunto de axiomas.

Lo anterior nos lleva a otro dilema. Si dentro de cierto sistema axiomático hay proposiciones que no se pueden obtener a partir del conjunto reducido de axiomas, ¿cómo entonces vamos a saber si tales proposiciones conforme vayan saliendo son falsas o verdaderas? Podemos aceptar sin demostración alguna que una proposición matemática de tal talante es cierta, pero esto suena más bien a un acto de fé. Estamos acostumbrados a que en todas las ramas de las matemáticas, desde la teoría de grupos hasta las transformadas de Fourier, se nos presente de manera rigurosamente formal la demostración de sus teoremas y fórmulas, pero resulta sorprendente la idea de que haya fórmulas escondidas por allí cuya validez o falsedad no pueda ser demostrada. En el caso del quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas, podemos aceptarlo como verdadero sin cuestionamiento alguno (esto fue lo que hizo Euclides) considerando las otras dos alternativas que contradecían tal postulado como falsas. O podemos elevar las otras dos alternativas como verdaderas creando con ello dos nuevos sistemas de geometrías con sus propios teoremas y fórmulas.

Nos falta cubrir detalles del quinto paso en la demostración del teorema de Gödel. Arriba se han delineado esencialmente los pasos mediante los cuales Gödel estableció la proposición matemática “Si la aritmética es consistente, entonces es incompleta”. Puede demostrarse también que esta proposición condicional tomada como un todo está representada por una fórmula demostrable dentro de la aritmética formalizada. Esta importante fórmula puede ser construída fácilmente. Como ya se vió en entrada previa, la proposición matemática:  ‘la aritmética es consistente’ es equivalente a la proposición:  existe una fórmula de la aritmética que no es demostrable’.

Se puede representar esta proposición en el cálculo formal con la siguiente fórmula que será denominada ‘A’:

La fórmula anterior se puede leer de la siguiente manera:

“Existe por lo menos un número y tal que para todo número x, x no se mantiene en la relación Dem a y”

La fórmula A representa por lo tanto la cláusulaantecedente de la proposición matemática “si la aritmética es consistente, es incompleta”, mientras que la cláusula consiguiente de la misma proposición, o sea “(la aritmética) es incompleta” proviene directamente de “existe una proposición aritmética verdadera que no es formalmente demostrable en la aritmética”, y ésta se halla representada en el cálculo aritmético por la fórmula G. Por lo tanto, la proposición matemática condicional ‘si la aritmética es consistente, es incompleta’ debe estar representada por la fórmula:

Lo anterior puede ser simbolizado de la manera siguiente:

Aunque A ⊃ G es demostrable, la fórmula A no lo es. Suponiendo que la fórmula A fuesde demostrable, entonces puesto que A ⊃ G es demostrable, aplicando lo que en lógica formal se conoce como la regla de separación, la fórmula G sería demostrable. Pero a menos de que el cálculo sea inconsistente, G es formalmente indecidible, no es demostrable. Por lo tanto, si la aritmética es consistente, la fórmula A no es demostrable.

Al representar la fórmula A la proposición matemática “la aritmética es consistente”, si esta proposición pudiera ser demostrada con una argumentación capaz de ser elaborada mediante una sucesión válida de fórmulas, lo cual constituye una prueba en el cálculo aritmético, en tal caso sería demostrable la propia fórmula A. Sin embargo esto es imposible si la aritmética es consistente. Con esto, la conclusión del quinto gran paso salta a la vista. Se tiene que concluír que si la aritmética es consistente entonces su consistencia no puede ser demostrada por ningún razonamiento metamatemático que sea susceptible de poder ser representado dentro del formalismo de la aritmética. Este importante resultado del análisis llevado a cabo por Gödel no excluye una prueba matemática de la consistencia de la aritmética. Lo que excluye por completo es la posibilidad de que una prueba de consistencia pueda ser reflejada en base a las deduccciones formales de la aritmética. Se puede hacer una comparación aunque algo tosca con la prueba descubierta por los griegos clásicos de que es imposible poder dividir un ángulo en tres partes iguales usando únicamente regla y compás. Ello no significa que un ángulo no se pueda dividier en tres partes iguales usando algún otro medio que no esté limitado al uso de la regla y el compás. Se puede dividir un ángulo en tres partes iguales si, además del uso de la regla y el compás, admitimos el uso de una distancia fija que esté marcada sobre una vara de medir o sobre una regla.

Se han logrado construir pruebas matemáticas de la consistencia de la aritmética, entre las cuales se puede citar la prueba de consistencia de Gentzen formulada por Gerhard Gentzen, la cual se basa en disponer todas las demostraciones de la aritmética en un orden lineal según su grado de “simplicidad”, y esta disposición resulta tener un módulo que viene siendo un cierto tipo de “ordinal transfinito” en la teoría de los números ordinales transfinitos creada en el siglo XIX por el matemático Georg Cantor. La prueba de la consistencia de la aritmética se obtiene aplicando a este orden lineal una regla de deducción conocida como el “principio de inducción transfinita”. Sin embargo, el procedimiento de Gentzen no puede ser representado dentro del formalismo de la aritmética. Por otro lado, aunque la mayoría de los académicos no ponen en tela de duda la fuerza lógica de la prueba de Gentzen, la prueba no es finitista en el sentido estipulado por las condiciones originales de David Hilbert para una prueba absoluta de consistencia. De cualquier modo, estas pruebas de consistencia tienen una gran importancia lógica porque entre otras cosas proponen nuevas formas de construcciones mestamatemáticas iluminando la cuestión de cómo hay que ampliar la clase de reglas de deducción para demostrar la consistencia de la aritmética. Sin embargo, en virtud de que estas pruebas no pueden ser representadas dentro del cálculo aritmético y no son finitistas, no cumplen con los objetivos planteados en el programa de David Hilbert.

Peor aún, la metodología empleada por Gödel no es susceptible de poder ser usada por los matemáticos que son adherentes de la escuela constructiva. Debe de haber muchos enunciados matemáticos por allí imposibles de poder ser demostrados o derivados dentro de las mismas matemáticas, sin embargo la argumentación de Gödel no nos proporciona ni siquiera la más remota pista sobre la manera en la cual se pueda obtener cualquiera de tales enunciados cuya existencia se supone de antemano pero a los cuales no podemos llegar. A manera de ejemplo, después de la publicación de los trabajos de Gödel se creyó, dada la aparente imposibilidad de poder obtener su demostración matemática, que el último teorema de Fermat era precisamente uno de tales “axiomas” indemostrables. ¿Pero era realmente el último teorema de Fermat una de esas proposiciones formalmente indecidibles de cuya existencia nos advirtió Gödel? No. En 1995 el matemático Andrew Wiles logró demostrar la veracidad absoluta del último teorema de Fermat recurriendo a algunas de las herramientas matemáticas teóricas más sofisticadas de los tiempos recientes. Esto nos arroja a una dura disyuntiva, porque puede haber proposiciones matemáticas extraordinariamente difíciles de probar que, en caso de ser realmente proposiciones formalmente indecidibles, representará un gasto inútil de tiempo el tratar de elucidar su falsedad o veracidad.

El hecho irrebatible es que no es posible demostrar la consistencia de las matemáticas usando para ello los mismos recursos de las matemáticas.

Es lo que dió origen al lema famoso que dice “Dios existe porque las matemáticas son consistentes, el Diablo existe porque no podemos probarlo.”

                                                                                                                                            © 2008 JAVIER DE LUCAS