Conectando con el infinito

COSMOLOGIA CICLICA

¿Cómo habría sido físicamente el universo material, muy atrás en el tiempo, muy poco después del Big Bang? Una cosa parece cierta: tendría que haber estado caliente, extremadamente caliente. La energía cinética en los movimientos de las partículas en esa época habría sido tan enorme como para haber superado de manera abrumadora las energías en reposo relativamente minúsculas de las partículas (E = mc²), para una partícula de masa en reposo m). Así, la masa en reposo de las partículas habría sido casi irrelevante, prácticamente cero en lo que concierne a los procesos dinámicos relevantes. En tiempos extremadamente tempranos, el contenido del universo habría consistido, en efecto, en partículas sin masa.

Para parafrasear esta cuestión en términos algo diferentes debemos tener en cuenta que, según las ideas de la física de partículas actual acerca de cómo aparecen realmente las masas de las partículas básicas, la masa en reposo de una partícula debería aparecer gracias a la intervención de una partícula especial (o quizá una familia de tales partículas especiales) conocida como el bosón (o bosones) de Higgs. Así, la visión estándar sobre el origen de la masa en reposo de cualquier partícula fundamental de la naturaleza dice que hay un campo cuántico asociado con el Higgs que tiene el efecto, mediante una sutil «ruptura de simetría» mecanocuántica, de asignar realmente una masa a las otras partículas, una masa que éstas no poseerían si no fuera por el Higgs. Del mismo modo, el Higgs se autoasignaría su propia masa (o, equivalentemente, energía en reposo) particular. Pero en el universo muy primitivo, cuando la temperatura era tan alta como para haber proporcionado energías enormemente mayores que este valor de Higgs, todas las partículas, según las ideas estándar, se habrían hecho en la práctica partículas sin masa, como un fotón.

Las partículas sin masa no parecen tener ninguna relación particular con la naturaleza métrica plena del espacio-tiempo; simplemente respetan su estructura conforme (o de conos nulos). Para ser un poco más explícitos (y cuidadosos) sobre esto, consideremos la partícula sin masa primaria —el fotón— que, de hecho, sigue hoy careciendo de masa. Para entender los fotones adecuadamente necesitamos considerarlos en el contexto de la extraña pero precisa teoría de la mecánica cuántica (o, más correctamente, la teoría cuántica de campos, QFT), lo que nos interesa principalmente es el campo físico, del que los fotones proporcionan los constituyentes cuánticos. Este campo es el campo electromagnético de Maxwell, descrito por el tensor F. Ahora bien, resulta que las ecuaciones de campo de Maxwell son por completo conformemente invariantes. Lo que esto significa es que cuando quiera que reemplazamos la métrica g por otra métrica ĝ conformemente relacionada

g → ĝ

que está reescalada (no uniformemente) en la forma

g2= Ω²g

donde Ω es una cantidad de valor positivo y que varía suavemente en el espacio-tiempo, podemos encontrar factores de escala adecuados para el campo F y su fuente, el vector carga-corriente J, de modo que son válidas exactamente las mismas ecuaciones de Maxwell que antes, pero ahora con todas las operaciones definidas en términos de ĝ2 en lugar de g. Por consiguiente, cualquier solución de las ecuaciones de Maxwell, con una elección particular de escala conforme, lleva a una solución correspondiente cuando se hace cualquier otra elección de escala conforme. Además, en un nivel primario, esto es básicamente compatible con la QFT, en cuanto que la correspondencia con la descripción como partícula (es decir, fotón) también lleva a la métrica ĝ2, con fotón individual yendo a fotón individual. Así, el propio fotón ni siquiera «nota» que se ha hecho un cambio de escala local.

La teoría de Maxwell es conformemente invariante en este sentido fuerte, en el que las interacciones electromagnéticas que acoplan las cargas eléctricas con el campo electromagnético son también insensibles a cambios de escala locales. Los fotones, y sus interacciones con partículas cargadas, necesitan que el espacio-tiempo tenga una estructura de conos nulos —es decir, una estructura espaciotemporal conforme— para que sus ecuaciones puedan ser formuladas, pero no necesitan el factor de escala que distingue una métrica real de otra, compatible con esta estructura de conos nulos dada. Además, exactamente la misma invariancia es válida para las ecuaciones de Yang-Mills que se considera que gobiernan no sólo las interacciones fuertes que describen las fuerzas entre nucleones (protones, neutrones, y sus quarks constituyentes) y otras partículas relevantes que interaccionan fuertemente, sino también las interacciones débiles que son responsables de la desintegración radiactiva. Desde un punto de vista matemático, la teoría de Yang-Mills es básicamente tan solo la teoría de Maxwell con algunos «índices externos extra», de modo que el fotón único es reemplazado por un multiplete de partículas.

En el caso de las interacciones fuertes, objetos llamados quarks y gluones son los equivalentes respectivos a los electrones y fotones de la teoría electromagnética, pero los gluones son realmente masivos y sus masas se consideran directamente ligadas al Higgs. En la teoría estándar de las interacciones débiles (llamada teoría «electrodébil», pues la teoría electromagnética está ahora también incorporada en esta teoría), el fotón se considera parte de un multiplete que contiene otras tres partículas, todas ellas masivas, conocidas como W+, W− y Z. Una vez más, las masas se consideran acopladas a la del Higgs. Así, según la teoría actual, la plena invariancia conforme debería recuperarse cuando este ingrediente proporcionador de masa se elimina en la práctica a las temperaturas extremadamente altas cerca del Big Bang, y, de hecho, a las extremadamente altas energías que se pretende alcanzar en el acelerador de partículas LHC en el CERN, en Ginebra, cuando funcione a plena potencia.

Por supuesto, los detalles de esto dependen de que nuestras teorías estándar de dichas interacciones sean adecuadas, pero parece que ésta es una hipótesis razonable, tal como está ahora nuestra física de partículas. En cualquier caso, incluso si resultara (por ejemplo, cuando se conozcan y comprendan resultados detallados del LHC) que las cosas no son exactamente como sugiere la teoría actual, sigue siendo probable que cuando las energías se hacen cada vez mayores, las masas en reposo se hacen cada vez más irrelevantes, y los procesos físicos llegan a estar dominados por leyes conformemente invariantes. Como resultado de todo esto, se piensa que cerca del Big Bang, probablemente hasta unos 10⁻¹²segundos después de ese momento, cuando la temperatura supera los 10¹⁶ K, la física relevante se hace ciega al factor de escala Ω, y la geometría conforme se hace la estructura espaciotemporal adecuada para los procesos físicos relevantes.

Así pues, toda esta actividad física habría sido, en esa etapa, insensible a cambios de escala local. En una imagen conforme en la que el Big Bang está estirado, según la propuesta de Tod, para convertirse en una 3-superficie de tipo espacio completamente suave que matemáticamente se extiende a un «espacio-tiempo» conforme previo al Big Bang, la actividad física se propagaría hacia atrás en el tiempo de una manera matemáticamente coherente (que proporciona una imagen física razonable y en apariencia no perturbada por los enormes cambios de escala implicados) hasta esta hipotética región pre-Big-Bang que se le está proporcionando de acuerdo con la propuesta de Tod. Véase la Fig. 1.

¿Tendría sentido tratar esta región hipotética como si fuera físicamente real? Si es así, ¿qué tipo de región espaciotemporal podría ser esta fase «pre-Big-Bang»? Quizá la sugerencia más inmediata es que fuera una fase de un universo que colapsa pero que de alguna manera es capaz de rebotar hacia un universo en expansión en el Big Bang. Pero tal imagen negaría todo lo que hemos intentado conseguir hasta ahora. En esta imagen nuestra fase en colapso pre-Big-Bang debería estar «apuntada» con increíble precisión a ese estado final muy especial, tan extraordinariamente especial como el que parece que encontramos en nuestro Big Bang real. Ello representaría una inmensa violación de la Segunda Ley para la fase pre-Big-Bang, con una entropía que se reduce al valor (relativamente) minúsculo que encontramos en el Big Bang. Recordemos la imagen de un universo en colapso en acuerdo con la Segunda Ley. Éste sería un espacio-tiempo plagado de agujeros negros que colapsa a una singularidad que en modo alguno se parece a una geometría con la suavidad conforme necesaria para el tipo de empalme que requiere la propuesta de Tod (véase la Fig. 2). Por supuesto, se podría adoptar un punto de vista por el que, en la fase pre-Big-Bang, la Segunda Ley opera simplemente en la otra dirección del tiempo.

Esperamos encontrar algo más parecido a una «explicación» de la Segunda Ley, o al menos algún tipo de argumento a favor, y no simplemente decretar que ocurre un estado absurdamente especial en alguna etapa durante la historia del universo (a saber, en el momento del «rebote» antes considerado). Además, resulta que también hay algunas dificultades matemáticas con este tipo concreto de propuesta de «rebote», como veremos más adelante.

Fig. 1. Los fotones y otras partículas/campos sin masa (efectiva) pueden propagarse suavemente desde una fase pre-Big-Bang anterior a la fase post-Big-Bang actual o, a la inversa, podemos propagar hacia atrás la información de las partículas/campos de la fase post a la fase pre-Big-Bang.

Fig. 2. El tipo de singularidad encontrado en un colapso genérico en modo alguno encaja con un big bang de baja entropía conformemente suave.

No, ensayemos algo muy diferente. Tratemos de examinar el otro extremo del tiempo, a saber, el que se espera en el futuro extremadamente remoto. Según los modelos descritos en los que hay una constante cosmológica Λ positiva, nuestro universo debería instalarse en última instancia en una expansión exponencial, al parecer muy bien modelizada por los diagramas conformes estrictos en los que hay una suave frontera conforme futura de tipo espacio. Por supuesto, nuestro propio universo posee ahora ciertos tipos de irregularidad, y las máximas desviaciones locales, de la geometría FLRW altamente simétrica se deben a la presencia de agujeros negros, en especial los muy masivos en los centros galácticos. Sin embargo todos los agujeros negros deberían desaparecer finalmente con «pops», incluso si los agujeros más grandes pudieran necesitar algo del orden de un gugol (es decir, ~ 10¹⁰⁰) o más años antes de que esto suceda.

Tras este lapso de tiempo extremadamente largo, los contenidos físicos del universo, en términos de números de partículas, consistirán principalmente en fotones, procedentes de la luz estelar altamente desplazada hacia el rojo y la radiación CMB, y de la radiación de Hawking que en última instancia se lleva casi toda la masa-energía de enormes y numerosos agujeros negros, en forma de fotones de muy baja energía. Pero habrá también gravitones (los constituyentes cuánticos de las ondas gravitatorias) procedentes de colisiones entre tales agujeros negros, en especial los agujeros muy grandes en centros galácticos, y estas colisiones desempeñarán realmente un papel vital para nosotros.

Los fotones son partículas sin masa, pero también los son los gravitones, y ninguno de ellos puede utilizarse para hacer un reloj. Presumiblemente habrá también una buena cantidad de «materia oscura», cualquier cosa que pueda ser esta sustancia misteriosa, en la medida en que este material hubiera sobrevivido a la captura por agujeros negros. Es difícil ver cómo tal sustancia, que sólo interacciona a través del campo gravitatorio, pudiera ser de mucho valor en la construcción de un reloj. Sin embargo, adoptar semejante punto de vista representaría un cambio de filosofía sutil; pese a todo, veremos que dicho cambio sutil será en cualquier caso una característica necesaria de la imagen global que voy a presentar. Así pues, empieza a parecer de nuevo que quizá sea precisamente la estructura conforme del espacio-tiempo la que tiene relevancia física en las etapas finales de la expansión de nuestro universo.

Cuando el universo entra en esa aparentemente etapa final —que bien se podría llamar la «era muy aburrida»— parece que ya no le queda por hacer nada de gran interés. Los sucesos más excitantes previos a esta era habrían sido los «pops» finales de los últimos remanentes minúsculos de agujeros negros, que finalmente desaparecen (se supone) después de haber perdido poco a poco toda su masa mediante el proceso penosamente lento de radiación de Hawking. Uno se queda con la terrible idea de un aburrimiento aparentemente interminable que aguarda a las etapas finales de nuestro gran universo; un universo que en otro tiempo habría parecido tan excitante, un hervidero de fascinante actividad, mucha de la cual ocurre dentro de bellas galaxias con una maravillosa variedad de estrellas y a menudo planetas acompañantes, entre los que estarían los que albergan algún tipo de vida, con sus exóticas plantas y animales, algunos de los cuales tienen la capacidad de conocimiento y comprensión profundos, y profundas capacidades de creación artística. Pero todo esto desaparecerá finalmente. Los últimos estertores se harán esperar, y esperar, y esperar, quizá 10¹⁰⁰años o más, hasta el pop final —quizá con la violencia de una pequeña granada de artillería— seguido de nada sino otra expansión exponencial, que se atenúa y enfría y se vacía y enfría, y se atenúa… por toda la eternidad. ¿Presenta esta imagen todo lo que aguarda finalmente a nuestro universo? ¿quién estará entonces para aburrirse con ese tedio inaguantable? Por supuesto que nosotros no; serán principalmente partículas sin masa como fotones y gravitones. Y es muy difícil aburrir a un fotón o un gravitón… ¡incluso dejando de lado la extrema improbabilidad de que tales entidades pudieran tener realmente experiencias importantes! Según una partícula sin masa, el paso del tiempo no existe. Una partícula semejante puede incluso alcanzar la eternidad antes de experimentar el primer «tic» de su reloj interno. ¡Bien podría decirse que «la eternidad no es para tanto» para una partícula sin masa como un fotón o un gravitón!

En otras palabras, parece que la masa en reposo es un ingrediente necesario para la construcción de un reloj, de modo que si finalmente quedan pocas cosas que tengan masa en reposo, la capacidad de hacer medidas del paso del tiempo se perdería (como se pierde la capacidad de hacer medidas de distancias, puesto que las distancias también dependen de medidas de tiempo). De hecho, como hemos visto antes, las partículas sin masa no parecen estar particularmente relacionadas con la naturaleza métrica del espacio-tiempo, y simplemente respetan su estructura conforme (de conos nulos). Por consiguiente, para las partículas sin masa la última hipersuperficie representa una región de su espacio-tiempo conforme igual que cualquier otra, y no parece haber ninguna barrera para su entrada en una extensión hiperbólicia de este espacio-tiempo en el «otro lado».

Además, hay potentes resultados matemáticos, gracias sobre todo al importante trabajo de Helmut Friedrich que dan apoyo a la real extensibilidad futura conforme del espacio-tiempo, en las circunstancias generales aquí consideradas para las que debe haber una constante cosmológica Λ positiva. Esto refleja nuestra discusión de la física en una hipersuperficie Big Bang que está de acuerdo con la propuesta de Tod. Parece que (por diferentes razones) es probable que admitirían extensiones suaves del espacio-tiempo conforme a regiones en los otros lados de estas hipersuperficies. No solo eso, sino que probablemente los contenidos materiales en uno u otro lado serían una sustancia en esencia sin masa cuyo comportamiento físico estaría gobernado básicamente por ecuaciones conformemente invariantes, y esto permitiría que la actividad de este material continúe en ambas extensiones hipotéticas del espacio-tiempo (conforme).

Quizá, como una variedad conforme, nuestro universo simplemente «se enrolla», de modo que lo que está más allá es simplemente nuestro propio universo que parte de nuevo de su origen Big Bang, estirado conformemente según la propuesta de Tod. La economía de esta idea tiene ciertamente su atractivo, pero creo que podría haber serias dificultades de consistencia que, para mí, hacen implausible esta sugerencia. Básicamente, tal espacio-tiempo contendría curvas de tipo tiempo cerradas por las que influencias causales podrían llevar a paradojas potenciales, o al menos a desagradables limitaciones sobre el comportamiento. Tales paradojas o limitaciones dependen de la posibilidad de que información coherente pueda atravesar la hipersuperficie. Pero veremos que esto es una posibilidad real en el tipo de esquema que se propone aquí, y por ello tales curvas de tipo tiempo cerradas sí tienen el potencial de llevar a serios problemas de inconsistencia.

Por razones como esta no voy a proponer esta identificación. Sin embargo, sugiero «la siguiente mejor alternativa», que es proponer que hay una región físicamente real del espacio-tiempo anterior que es el futuro remoto de alguna fase previa del universo, y que hay también una fase de universo físicamente real que se extiende más allá para convertirse en un big bang para una nueva fase de universo, y lo que estoy sugiriendo es que el universo en conjunto debe verse como una variedad conforme extendida que consiste en una sucesión de eones (posiblemente infinita), cada uno de los cuales parece ser una historia entera de un universo en expansión. Véase la Fig. 3.

Fig. 3. Cosmología cíclica conforme.

Quizá el lector se sienta preocupado por la identificación de un futuro remoto, donde la radiación se enfría hasta temperatura cero y se expande hasta densidad cero, con una explosión de tipo big bang, donde la radiación ha empezado a una temperatura infinita y una densidad infinita. Pero el «estiramiento» conforme en el big bang reduce estas temperatura y densidad infinitas a valores finitos, y la «compresión» conforme en el infinito aumenta la densidad y la temperatura nulas a valores finitos. Éstos son precisamente los tipos de reescalado que hacen posible que los dos encajen, y el estiramiento y la compresión son procedimientos a los que la física relevante en uno u otro lado es completamente insensible. También puede mencionarse que el espacio de fases que describe la totalidad de los estados posibles de toda la actividad física en uno u otro lado del tránsito tiene una medida de volumen que es conformemente invariante, básicamente por la razón de que cuando las medidas de distancia se reducen, las correspondientes medidas de momento aumentan (y viceversa) de tal manera que el producto de las dos no es en absoluto afectado por el reescalado Llamo a este esquema cosmológico cosmología cíclica conforme, abreviada como CCC.

La estructura de la CCC

Hay varios aspectos de esta propuesta que requieren una atención mucho más detallada. Una cuestión clave concierne a cuáles podrían ser los contenidos totales del universo en el futuro muy remoto. La exposición anterior se ha centrado principalmente en el considerable fondo de fotones que estaría presente, procedente de la luz estelar, del CMB y de la evaporación de Hawking de los agujeros negros. También habría una contribución significativa de gravitones, por los que entiendo los constituyentes (cuánticos) básicos de las ondas gravitatorias, que son «rizos» de la curvatura del espacio-tiempo que aparecen básicamente de colisiones entre agujeros negros extremadamente grandes en centros galácticos.

Tanto fotones como gravitones carecen de masa. Por ello, no parece irrazonable adoptar la siguiente filosofía, relevante para el futuro muy remoto: puesto que en una etapa muy tardía en la historia del universo sería imposible en principio construir un reloj con dicho material, entonces el propio universo, en el futuro remoto, «perdería la pista de la escala de tiempo» y por eso la geometría del universo físico se hace realmente geometría conforme (es decir, geometría de conos nulos), en lugar de la plena geometría métrica de la relatividad general de Einstein. De hecho, pronto veremos que hay sutilezas en relación con el campo gravitatorio que nos obligan a moderar un poco esta filosofía. Pero por el momento, tratemos otra dificultad con este punto de vista filosófico que es necesario afrontar.

Al considerar cuáles podrían ser los contenidos principales del universo en las últimas etapas de su existencia, he ignorado el hecho de que habría mucho material dentro de cuerpos que no se encuentran dentro de un agujero negro por haber sido expulsado de sus galaxias madres por procesos aleatorios, y que en algunos casos el cuerpo también habría escapado del cúmulo galáctico dentro del cual había residido originalmente; y también habría mucha materia oscura que nunca habría caído en un agujero negro. ¿Cuál sería, por ejemplo, el destino de una estrella enana blanca que hubiera escapado de esta manera y se hubiese enfriado hasta convertirse en una enana negra invisible? A veces se ha sugerido que los protones podrían desintegrarse finalmente, aunque las observaciones imponen cotas muy bajas a la velocidad a la que esto podría suceder. En cualquier caso, habría algún tipo de productos de la desintegración, y aunque buena parte del material de la enana negra podría colapsar finalmente a un agujero negro mediante tales procesos, quedarían probablemente muchas partículas masivas «solitarias» que, de alguna forma, habrían escapado de los cúmulos de galaxias a los que habían estado unidas originalmente.

Que protones, y otras partículas cargadas más masivas que electrones y positrones, pudieran desintegrarse finalmente, al cabo de vastos períodos de tiempo, en partículas menos masivas no es una idea descartable. Cabría imaginar que todos los protones podrían desintegrarse finalmente de esta manera, pero si aceptamos la visión convencional de que la carga eléctrica debe ser absolutamente conservada, entonces los productos finales de la desintegración de un protón deben contener una carga neta positiva, de modo que cabría esperar al menos un positrón entre los supervivientes. Un argumento similar se aplicaría a las partículas cargadas negativamente, y es difícil escapar a la conclusión de que tendría que haber también numerosos electrones presentes, acompañando a estos positrones. También podría haber partículas cargadas más masivas tales como protones y antiprotones, si estos no se desintegran finalmente, pero el problema clave está en los electrones y positrones.

¿Por qué es esto un problema? ¿No podría haber otro tipo de partícula cargada (tanto con carga positiva como con carga negativa) que realmente carezca de masa, de modo que electrones y positrones podrían desintegrarse finalmente en éstas y se mantuviese el punto de vista filosófico anterior? Parece que la respuesta es «no». En efecto, la mera existencia de tal partícula cargada sin masa en el zoo de partículas que hoy participan en las actividades físicas se habría hecho manifiesta en abundancia en muchos procesos de partículas. Pero lo que se observa realmente es que estos procesos tienen lugar sin la producción de tales partículas cargadas sin masa. Por consiguiente, actualmente no hay partículas cargadas sin masa. ¿Tendrán entonces que existir los electrones y protones (masivos) por toda la eternidad, en contradicción con el punto de vista filosófico sugerido?

Una posibilidad de mantener este punto de vista la plantea la idea de que los electrones y positrones remanentes pudieran buscarse y aniquilarse mutuamente por completo para producir meramente fotones, que entonces serían inocuos para esta filosofía. Pero, por desgracia, en el futuro extremadamente remoto muchas partículas cargadas individuales se encontrarán aisladas dentro de sus horizontes de sucesos cosmológicos, como se muestra en la Fig. 4, y cuando eso sucede, como debe hacerlo a veces, se elimina cualquier posibilidad de tal aniquilación de carga final. Una posible solución sería debilitar algo nuestro punto de vista filosófico, y argumentar que el electrón o el positrón singular, atrapado dentro de su horizonte de sucesos, difícilmente sería de mucho uso para la construcción de un reloj real.

Fig. 4. Habrá el ocasional electrón o positrón «solitario», finalmente atrapado dentro de su horizonte e incapaz de perder su carga eléctrica mediante aniquilación de pares.

Una solución más radical sería suponer que la conservación de carga no es realmente uno de los requisitos obligados de la naturaleza. Si así fuera, podría suceder que, en momentos extremadamente ocasionales, una partícula cargada pudiera desintegrarse en otra que no tenga carga eléctrica, y en los abismos de la eternidad toda la carga eléctrica podría desaparecer. Entonces, electrones y positrones podrían convertirse finalmente en uno de sus parientes sin carga, digamos un neutrino, en cuyo caso se requeriría también que entre los tres tipos conocidos de neutrinos haya uno sin masa en reposo. Al margen de que no haya por el momento ninguna evidencia de violación de la conservación de carga, semejante posibilidad es extremadamente desagradable desde un punto de vista teórico, y también parecería exigir que el propio fotón adquiera una pequeña masa, lo que en sí mismo anularía la posición filosófica propuesta.

La otra posibilidad que se me ocurre, y que creo que es algo que hay que considerar seriamente, y no meramente un mal menor, es que la noción de masa en reposo no sea la constante absoluta que pensamos que es. La idea es que en los abismos de la eternidad, las partículas masivas supervivientes —los electrones, positrones, neutrinos, y también protones y antiprotones, si finalmente no se desintegran— experimentarían un desvanecimiento muy gradual de sus masas en reposo, llegando a un valor cero en el límite final. Una vez más, no hay por ahora absolutamente ninguna evidencia observacional de tal violación de las nociones ordinarias sobre la masa en reposo, pero en este caso el respaldo teórico de las ideas convencionales es mucho menos sustancial que en el caso de la conservación de carga. En el caso de la carga eléctrica, tenemos una cantidad aditiva, en el sentido de que la carga total de un sistema es siempre la suma de todos sus constituyentes individuales, pero con la masa en reposo no es así. (La E = mc² de Einstein nos dice que la energía cinética de los movimientos de los constituyentes contribuirá al total). Además, aunque el valor real de la carga eléctrica elemental (digamos la del anti-quark-down, que es un tercio de la del protón) sigue siendo un misterio teórico, los valores de todas las demás cargas que encontramos en el universo son múltiplos enteros de este valor. Nada parecido ocurre con la masa en reposo, y se desconoce por completo la razón subyacente para que los diferentes tipos de partículas tengan los valores concretos de masas en reposo que medimos. De modo que parece que sigue habiendo libertad para que la masa en reposo de una partícula fundamental no sea una constante absoluta —como de hecho no lo es, según la física de partículas estándar, en el universo muy primitivo, como se ha comentado antes, — y pueda desvanecerse y hasta reducirse a cero en el futuro muy remoto.

En relación con esto, puede hacerse un último comentario técnico concerniente al estatus de la masa en reposo en física de partículas. Un procedimiento estándar para abordar la idea de una «partícula elemental» es buscar las que se conocen como «representaciones irreducibles del grupo de Poincaré». Se supone que cualquier partícula elemental va a describirse de acuerdo con una de tales representaciones irreducibles. El grupo de Poincaré es la estructura matemática que describe las simetrías del espacio de Minkowski, y éste es un procedimiento natural en el contexto de la relatividad especial y la mecánica cuántica. El grupo de Poincaré posee dos cantidades conocidas como operadores de Casimir, que son la masa en reposo y el espín intrínseco, y en consecuencia se estima que masa en reposo y espín son «buenos números cuánticos», números que permanecen constantes mientras la partícula sea estable y no interaccione con nada. No obstante, este papel de parece menos fundamental cuando hay una constante cosmológica Λ positiva presente en las leyes físicas (pues Λ = 0 para M) y parece que, cuando nos interesamos en materias relacionadas con la cosmología, debería ser el grupo de simetría del espacio-tiempo de De Sitter Dy no el de M el que finalmente debería interesarnos. Sin embargo, resulta que la masa en reposo no es exactamente un operador de Casimir del grupo de De Sitter (pues hay un pequeño término adicional que incluye a Λ), de modo que su estatus final es más cuestionable en este caso, y una desintegración muy lenta de la masa en reposo no parece descartable.

No obstante, la desintegración muy gradual de la masa en reposo, según esta propuesta, tiene curiosas implicaciones con respecto al esquema general de la CCC, porque plantea una nueva cuestión en relación con la medida del tiempo. Recordemos que se ha utilizado la masa en reposo de una partícula para proporcionar una escala de tiempo bien definida, pues dicho reescalado es todo lo que se necesita para que podamos pasar de una estructura conforme a una métrica plena. Si, como parece exigido por la argumentación anterior, necesitamos que las masas de las partículas desaparezcan, aunque de forma extraordinariamente lenta, entonces nos vemos llevados a un dilema. ¿Seguimos adoptando esta idea de utilizar masas en reposo de partículas para definir de forma precisa la métrica de nuestro espaciotiempo, cuando todavía hay partículas masivas aunque con masas que se desintegran lentamente? Si tratamos de fijar un tipo de partícula concreto, digamos un electrón, para que nos proporcione el patrón de tiempo, entonces, dados los ritmos de desintegración que serían requeridos para que los electrones sean considerados aceptablemente «sin masa» cuando se llega, resultaría que no está en el infinito en absoluto, y la expansión del universo, de acuerdo con esta «métrica de electrón», tendría o bien que frenarse hasta detenerse, o bien invertirse hacia un colapso.

No parece que este comportamiento fuera compatible con las ecuaciones de Einstein. Más aún, si en lugar de una «métrica de electrón» utilizáramos una «métrica de neutrino» o una «métrica de protón», pongamos por caso, entonces es probable que el comportamiento geométrico detallado del espaciotiempo difiriera del comportamiento correspondiente que se obtendría con el uso de electrones (a menos que en el escalado a cero todos los valores de las masas mantuvieran exactamente sus proporciones iniciales). Así pues, parece que para conservar una forma apropiada para las ecuaciones de Einstein —con Λ constante— a lo largo de la historia entera del eón, tenemos que utilizar otra propuesta para escalar la métrica. Lo que podríamos hacer, aunque esto difícilmente sería una solución «práctica» para el propósito de construir un reloj, es utilizar la propia Λ para determinar una escala; o, lo que parece estar íntimamente relacionado con esto, podríamos utilizar el valor efectivo de la constante gravitatoria G. Entonces se mantendría la imagen de un universo que evoluciona y se expande indefinidamente de forma exponencial hasta su futuro remoto, pero sin perturbar seriamente la filosofía según la cual el universo perderá finalmente la pista de la escala de tiempo.

Esta cuestión está íntimamente relacionada con otra que hemos pasado por alto hasta ahora, a saber, el hecho de que mientras que hay invariancia conforme para el campo gravitatorio libre, descrito por el tensor conforme de Weyl C (puesto que C describe la curvatura conforme), el acoplamiento del campo con sus fuentes no es conformemente invariante. Esto es muy diferente de lo que sucede en la teoría de Maxwell, en la que hay invariancia conforme tanto para el campo electromagnético libre F como para el acoplamiento entre F y sus fuentes descritas por el vector carga-corriente J. Entonces, una vez más, cuando introducimos la gravedad en la imagen de una forma seria, la filosofía básica de la CCC se enturbia un poco. Debemos adoptar el punto de vista de que, en cierto sentido, la filosofía de la CCC afirma que es la física libre de gravedad (y física libre de Λ) la que pierde la pista del tiempo, y no la totalidad de la física.

Tratemos de entender la relación entre la teoría de Einstein y la invariancia conforme. Es una materia un poco delicada. En el caso del electromagnetismo, todas las ecuaciones se conservan bajo el reescalado conforme. Vamos a examinar lo que sucede cuando la métrica g del espacio-tiempo se reemplaza por otra métrica ĝ conformemente relacionada mediante un factor de escala Ω, que es un número positivo que varía suavemente sobre el espacio-tiempo:

g → ĝ2 = Ω²g

Las ecuaciones de Maxwell pueden escribirse simbólicamente

∇F = 4πJ

donde ∇ representa un conjunto específico de operadores diferenciales determinado por la métrica g. de las ecuaciones de Maxwell. Este conjunto de ecuaciones (conformemente invariantes) gobierna la propagación de ondas electromagnéticas (luz) y también puede considerarse como la ecuación de Schrödinger mecanocuántica satisfecha por fotones libres individuales. En el caso de la gravedad, el tensor fuente E (tensor de Einstein, que toma el lugar de J no tiene un comportamiento de escalado que proporcione invariancia conforme para las ecuaciones, pero hay un equivalente conformemente invariante de

∇F = 0

que gobierna la propagación de ondas gravitatorias y proporciona una ecuación de Schrödinger análoga para gravitones individuales libres. La escribiré simbólicamente como

∇K = 0.

Hay, sin embargo, una cuestión sutil: cuando se utiliza la métrica original (de Einstein) g, este -tensor K se toma idéntico al tensor conforme de Weyl C

K = C,

pero cuando reescalamos a una nueva métrica de acuerdo con g → ĝ = = Ω2g, encontramos que es preciso adoptar escalados diferentes para conservar el significado de C como algo que proporciona la medida de curvatura conforme, y para conservar la invariancia conforme de la propagación de ondas de K, de modo que obtenemos ∇K = 0. Esto tiene algunas consecuencias curiosas, que son de considerable importancia para la CCC. Cuando nos acercamos al espacio desde su pasado, necesitamos utilizar un factor conforme Ω que tiende a cero de forma suave, pero con una derivada normal no nula. El significado geométrico de esto se ilustra en la Fig. 5. La invariancia conforme de la ecuación de propagación de ondas para K implica que alcanza valores finitos, (y normalmente no nulos) en valores que determinan la intensidad (y polarización) de la radiación gravitatoria —el análogo gravitatorio a la luz— cuando continúa hasta infinito y con ello deja su marca. Véase la Fig. 6. Lo mismo se aplica a los valores de F que determinan la intensidad y polarización del campo de radiación electromagnética (luz). Pero debido al hecho de que Ω se hace cero en +, la ecuación antes mostrada, reescrita como Ĉ = Ω, nos dice que la finitud de implica que el propio tensor conforme Ĉ debe hacerse cero en + (donde utilizamos una métrica ĝ finita en +).

Puesto que Ĉ proporciona una medida directa de geometría conforme en +, la demanda de la CCC de que la geometría conforme sea suave sobre la 3-superficie de tránsito de cada eón al siguiente nos dice que la curvatura conforme también debe ser cero en la superficie bigbang del eón siguiente. Así pues, frente a la condición de que la curvatura conforme sea meramente finita (que era lo que la propuesta de Tod daba directamente), la CCC proporciona una versión más fuerte de la hipótesis de curvatura de Weyl (HCW), a saber: que dicha curvatura conforme se anula realmente en el de cada eón, de acuerdo con la idea original de la HCW.

Fig. 5. El factor de escala conforme pasa limpiamente de positivo a negativo en el tránsito, y la curva tiene una pendiente que no es ni horizontal ni vertical. Aquí «tiempo conforme» se refiere simplemente a la «altura» en un diagrama conforme apropiado.

Fig 6. El campo gravitatorio es medido por el tensor K, se propaga de acuerdo con una ecuación conformemente invariante, y así alcanza en general valores finitos no nulos en +.

En el otro lado de la superficie de tránsito, es decir, inmediatamente después del eón siguiente, encontramos un factor conforme que se hace infinito en −, pero de la manera precisa para que Ω−1 se comporte suavemente en −. Así pues, ¡parece ser el caso que Ω tiene que poder ser continuado de algún modo sobre la 3-superficie de tránsito para convertirse, súbitamente, en su recíproco! Una manera de manejar matemáticamente esta situación es codificar la información esencial de Ω de un modo que no lo distingue de su recíproco Ω−1. Esto puede hacerse considerando el -tensor Π (una 1-forma). Las dos cosas más importantes sobre Π son, primero, que permanece suave sobre la 3-superficie de tránsito y, segundo, que no cambia bajo el reemplazamiento Ω → Ω−1.

En la CCC tratamos de exigir que Π sea una cantidad que varía suavemente en el tránsito, de modo que si consideramos que es Π, y no Ω, el que define la información del escalado requerido, entonces podemos imaginar que el reemplazamiento Ω → Ω−1 en el tránsito puede conseguirse mientras Π permanece suave en el mismo. Esto requiere que el comportamiento de Ω en + satisfaga ciertas condiciones matemáticas, y hay indicios de que estas pueden conseguirse de forma satisfactoria y unívoca. El resultado de todo esto es que hay un procedimiento matemático preciso y aparentemente único para continuar los campos sin masa en el futuro a través de la 3-superficie de tránsito, suponiendo que sólo hay presentes campos sin masa en el futuro muy remoto del eón previo (es decir, inmediatamente anterior a +). Con solo campos sin masa presentes, tenemos una particular libertad de escalado en la elección de la métrica reescalada ĝ en la región inmediatamente anterior al + del eón previo, compatible con su estructura conforme dada. Esta libertad se describe en términos de un «campo fantasma» ϖ, que satisface una ecuación de campo escalar sin masa conformemente invariante y autoacoplada (es decir, no lineal).

En el lado opuesto del tránsito, inmediatamente después del big bang del eón posterior, encontramos que la simple continuación de los campos de forma suave lleva a una constante gravitatoria efectiva en este nuevo eón que se ha hecho negativa, con implicaciones no físicas. Por ello se hace necesario adoptar la interpretación alternativa en la que utilizamos la elección alternativa Ω−1, compatible con Π, en el otro lado. Esto tiene el efecto de convertir el campo fantasma ϖ en un campo físico real (aunque inicialmente infinito) en el lado big bang del tránsito. Es tentador interpretar que es este campo que sigue a este big bang el que proporciona la forma inicial de materia oscura nueva, antes de que adquiera masa. ¿Por qué hacer esta interpretación? La razón es simplemente que las fuerzas matemáticas van a dar, en el big bang del nuevo eón, alguna nueva contribución dominante, de la naturaleza de un campo escalar, que aparece del comportamiento del factor conforme. Esta contribución es adicional a las contribuciones de fotones (campo electromagnético) o de cualesquiera otras partículas de materia (que se supone que han perdido sus masas en reposo para cuando alcanzan la 3-superficie de tránsito). Tiene que estar allí por consistencia matemática, en cuanto adoptamos la transformación Ω → Ω−1 en el tránsito.

Otra propiedad que encontramos como resultado de las matemáticas es que en el lado big bang del tránsito no se puede mantener estrictamente la condición de que todas las fuentes sean sin masa, aunque una ligadura natural que restringe la libertad indeseada en el factor conforme es que esta aparición de masa en reposo se retrase lo más posible. Así, una componente del contenido de materia post-Big-Bang es esta contribución que lleva masa en reposo. Sería natural suponer que esto tiene algo que ver con el campo de Higgs (o cualquier cosa que pudiera resultar necesaria) en su papel en la aparición de masa en reposo en el universo primitivo.

La materia oscura es la forma de materia dominante que parece estar presente en las etapas iniciales de nuestro propio eón. Comprende aproximadamente un 70 por ciento de materia ordinaria (donde «ordinaria» significa que no cuenta la contribución de la constante cosmológica Π habitualmente conocida como «energía oscura» pero la materia oscura no parece encajar cómodamente en el modelo estándar de la física de partículas, pues solo interacciona con otros campos de materia a través de su efecto gravitatorio. El campo fantasma en las etapas tardías del eón anterior aparece como una componente escalar efectiva del campo gravitatorio, que resulta solo porque estamos permitiendo los reescalados conformes g → Ω2g, y no tiene grados de libertad independientes. En el eón posterior, la nueva materia que resulta inicialmente domina a los grados de libertad presentes en las ondas gravitatorias en el eón anterior. La materia oscura parece haber tenido un estatus especial en el momento de nuestro Big Bang, y éste es ciertamente el caso para ϖ. La idea es que inmediatamente después del Big Bang (presumiblemente cuando el Higgs entra en juego), este nuevo campo adquiere una masa, y entonces se convierte en la materia oscura que parece desempeñar un papel tan importante en conformar las distribuciones de materia subsiguientes, con los diversos tipos de irregularidades que se observan hoy.

Es quizá significativo que las dos denominadas magnitudes «oscuras» («materia oscura» y «energía oscura»), que poco a poco se han hecho manifiestas gracias a observaciones cosmológicas detalladas en décadas recientes, parecen ser ingredientes necesarios de la CCC. Este esquema ciertamente no funcionaría sin Λ > 0, puesto que el consiguiente carácter de tipo espacio de + es necesario para empalmar con el carácter de tipo espacio de −. Además, vemos de lo anterior que el esquema requiere que haya algún tipo de distribución de materia inicial que razonablemente pudiera identificarse con la materia oscura. Será interesante ver si esta interpretación de la materia oscura se va a sostener teórica y observacionalmente.

Con respecto a Λ, lo que más parece intrigar a cosmólogos y a teóricos de campos cuánticos es su valor. La cantidad Λg suele ser interpretada por los teóricos de campos cuánticos como la energía del vacío. Por razones que tienen que ver con la relatividad, se argumenta que esta «energía de vacío» debería ser un tensor proporcional a g, pero el factor de proporcionalidad ¡resulta mayor que el valor observado de Λ en un factor del orden de 10¹²⁰, de modo que algo falta claramente en esta idea! Otra cosa que se considera enigmática es que el minúsculo valor observado de Λ es tal que empieza a tener efectos en la expansión del universo que son comparables a la atracción total debida a la materia en el universo precisamente ahora, y no en el pasado, en que la atracción era enormemente mayor, ni en el futuro, en que será enormemente menor. Esta parece ser una extraña coincidencia. Para mí esta «coincidencia» no es un enigma tan grande, al menos no mayor que algunos enigmas que han estado con nosotros mucho antes de que hubiera pruebas observacionales que indicaran el pequeño valor real de Λ. Ciertamente el valor observado de Λ necesita explicación, pero quizá pueda relacionarse específicamente con la constante gravitatoria G, la velocidad de la luz c y la constante de Planck h mediante una fórmula muy simple, pero con la sexta potencia de cierto número grande N en el denominador.

En 1937 el gran físico cuántico Paul Dirac advirtió que diversos cocientes adimensionales de constantes físicas básicas dan valores que son (aproximadamente) potencias enteras de este número, en particular cuando la gravedad está implicada de alguna manera. (Por ejemplo, la razón de la fuerza eléctrica a la fuerza gravitatoria entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno es del orden de 10⁴⁰ ≈ N²). Dirac apuntó también que la edad del universo es del orden de N³, en términos de la unidad de tiempo absoluta que se conoce como tiempo de Planck tP. Suele considerarse que el tiempo de Planck, y la correspondiente longitud de Planck lP = ctP proporcionan un tipo de medida espaciotemporal «mínima» (o «cuantos» de tiempo y espacio, respectivamente), de acuerdo con ideas comunes sobre la gravedad cuántica. Mediante el uso de estas «unidades de Planck», y también de la masa de Planck mP y la energía de Planck EP que son unidades determinadas de forma natural (aunque nada prácticas), se pueden expresar muchas otras constantes básicas de la naturaleza simplemente como puros números (adimensionales). En particular, en estas unidades, tenemos Λ = N−6.

Además, podemos utilizar unidades de Planck para temperatura, haciendo la constante de Boltzmann k = 1, en donde una unidad de temperatura tiene el valor absurdamente grande de 2,5 × 10³² K. Cuando se considereran las entropías muy grandes implicadas en grandes agujeros negros o con respecto al universo en conjuntoen §3.4) se utilizan unidades de Planck. Sin embargo, para valores de este tamaño, supone poca diferencia qué unidades se utilicen. Originalmente Dirac pensó que puesto que la edad del universo está aumentando (obviamente) con el tiempo, entonces N debería estar aumentando con el tiempo o, lo que es equivalente, G debería estar disminuyendo con el tiempo (en proporción inversa al cuadrado de la edad del universo). Sin embargo, medidas más precisas de G que las que estaban disponibles cuando Dirac propuso sus ideas han mostrado que G (o equivalentemente N), si no es constante, al menos no puede variar al ritmo que requerían las ideas de Dirac. Sin embargo, en 1961, Robert Dicke (con un argumento más tarde refinado por Brandon Carter) señaló que, según la teoría aceptada de la evolución estelar, la vida media de una estrella de la «secuencia principal» está relacionada con las diferentes constantes de la naturaleza de tal manera que cualquier criatura cuya vida y evolución dependan de que está existiendo aproximadamente a la mitad del período de vida activa de dicha estrella ordinaria, encontraría probablemente un universo cuya edad, en unidades de tiempo de Planck, es del orden de N³.

Si pudiera entenderse teóricamente el valor particular para Λ de N⁻⁶, esto también explicaría el enigma de la aparente coincidencia de una constante cosmológica que entra en juego precisamente ahora. Pese a todo, éstas son claramente materias especulativas, y por supuesto se necesitarán teorías mejores para tener una mejor comprensión de estos números.