QUINTA DIMENSION

El ser humano es capaz de lograr cosas que en principio parecen totalmente fuera de su alcance. Mientras que personas extraordinarias como Magallanes dieron la vuelta al mundo en rudimentarios barcos de vela u otros como Neil Armstrong consiguieron pisar la Luna, otro tipo de personas no menos extraordinarias realizaron viajes incluso más increíbles. En 1921 cuando la humanidad apenas había empezado a realizar los primeros viajes aéreos, un físico llamado Theodor Kaluza, con la simple ayuda de un papel y un lápiz, fue capaz de "viajar" hasta la quinta dimensión del espacio-tiempo. Una proeza así solo es posible gracias al alcance universal de las Matemáticas y al extraordinario desarrollo de la Física del siglo XX. Cinco años después, otro físico llamado Oskar Klein amplió este viaje dando una explicación de los fenómenos ocultos en la quinta dimensión.

Lo que estos físicos encontraron en este viaje es tan impresionante que el propio Einstein quedó completamente sorprendido. En este artículo descubriremos, utilizando conceptos y expresiones sencillas, los "tesoros" escondidos que Kaluza y Klein encontraron en la quinta dimensión y como estos descubrimientos siguen siendo estudiados por la física moderna actual.

El tensor métrico de la Relatividad General y el Electromagnetismo

Antes de entrar a describir la teoría de Kaluza-Klein (teoría de KK en adelante) debemos hacer un breve repaso a algunos conceptos claves de la relatividad general y del electromagnetismo.

La relatividad general unifica las 3 dimensiones espaciales y la dimensión temporal en una sola entidad de 4 dimensiones llamada espacio-tiempo. La métrica especifica la forma de medir las distancias en un determinado espacio-tiempo. Para el espacio-tiempo plano relativista de Minkowski la métrica será:

El tensor métrico contiene toda la información necesaria para realizar un cambio de coordenadas desde un sistema de referencia a otro preservando las distancias. La diagonal del tensor métrico contiene la métrica en las 4 coordenadas; de esta forma el tensor métrico de la relatividad general para el espacio-tiempo plano relativista es:

Si queremos describir espacios-tiempos curvos, los valores del tensor métrico deberán medir trayectos curvilíneos, por esto suelen usarse coordenadas polares.

Por ejemplo, para transformar la métrica plana Euclídea tridimensional dada por:

en la métrica curva de una esfera utilizamos las coordenadas esféricas dadas por:

Para hallar la métrica en coordenadas esféricas utilizamos la equivalencia entre coordenadas cartesianas y polares y derivamos:

De esta forma:

Y haciendo cálculos obtenemos que la métrica es:

Puesto que, considerando los componentes cruzados, la métrica puede escribirse como:

El tensor métrico será:

Este será el tensor métrico de una superficie esférica como la Tierra. Otro ejemplo sería la métrica 4D del espacio-tiempo creado por un agujero negro de Schwarzschild:

En este espacio-tiempo puede verse que en el punto r=2GM (en la superficie del agujero negro), el tensor métrico diverge y ¡las distancias se hacen infinitas!

Para calcular la dinámica de un cuerpo en un espacio-tiempo curvo debemos calcular las derivadas parciales del tensor métrico respecto de todas las dimensiones del espacio-tiempo. Para ello se usan los denominados símbolos de Christoffel cuya notación es:

Donde i,j,k varían desde 1 hasta 4. Esto significa tomar las derivadas parciales de las componentes del tensor métrico gij respecto a k de la siguiente forma:

Este es el símbolo de Christoffel de primer grado. Para obtener los símbolos de segundo grado cuya notación es:

simplemente multiplicamos el símbolo de primer grado ya calculado por la métrica:

Como veremos después, esta última expresión resultará crucial para entender el denominado mecanismo de Kaluza-Klein.

Para finalizar este apartado recordemos las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo:

Todas estas ecuaciones se pueden derivar considerando un vector potencial A:

que cumple la siguiente expresión (invarianza gauge):

Donde F es el campo de fuerza del electromagnetismo. Con estos ingredientes ya estamos preparados para adentrarnos en la quinta dimensión.

Añadiendo la quinta dimensión

Cada fila o columna del tensor métrico puede considerarse como un vector de n componentes. En el espacio-tiempo 4D de la relatividad general tendremos vectores de 4 componentes: V= (Xo,X1,X2,X3). Si queremos añadir una nueva dimensión debemos incluir una nueva coordenada espacial al tensor métrico cuatridimensional de la relatividad general. Para ello debemos añadir las coordenadas mostradas en color claro:

Puesto que de forma general el tensor métrico es simétrico, las coordenadas g04,g14,g24 y g34 de la última columna y de la última fila tienen los mismos valores; por tanto, basta con definir solo un nuevo vector A de cinco componentes para la nueva dimensión. Describiremos el nuevo vector asociado a la quinta dimensión de la siguiente forma: A=(A0,A1,A2,A3,psi), donde psi es un campo que puede tomar un valor cualquiera. El tensor métrico de cinco dimensiones será entonces:

Para describir la dinámica en las nuevas componentes tenemos que calcular los símbolos de Christoffel asociados. Estos "símbolos" implican derivadas parciales cruzadas entre todas las dimensiones de la métrica. Como vimos en el apartado anterior, en la relatividad general la forma de calcularlos es:

Donde los valores de n,v,p varían de 1 a 4. De forma análoga los símbolos de Christoffel para cinco dimensiones serán:

Donde ahora M,N,R varían de 1 a 5. En este cálculo existen componentes "cruzados" que incluyen tanto derivadas parciales de la quinta dimensión respecto al resto de dimensiones como derivadas parciales del resto de dimensiones respecto a la quinta dimensión. A nosotros nos interesan estos últimos componentes. Los símbolos de Christoffel de estos componentes "cruzados" asociados a la quinta dimensión serán:

Es ahora cuando llegamos al punto crucial del llamado "mecanismo de Kaluza-Klein". Puesto que no existe ninguna evidencia experimental de la existencia de la quinta dimensión, esta debe ser muy pequeña y periódica por lo que debe de estar "enrollada" formando un cilindro. Además, la influencia de esta nueva dimensión sobre el resto de dimensiones grandes debe ser despreciable, lo que significa que el valor de estas derivadas "cruzadas" respecto a la quinta dimensión debe ser cero:

Por tanto los símbolos de Christofell asociados a la quinta dimensión se reducen a:

Aplicando esto a nuestro vector A asociado a la quinta dimensión del tensor métrico obtenemos:

Pero, esta es precisamente la definición del ¡tensor de fuerza del campo electromagnético! El tensor F que describe la fuerza electromagnética se define como:

Este es el primer "tesoro" que Kaluza y Klein encontraron en su viaje: permitiendo que el tensor métrico acceda a una quinta dimensión compactada hemos conseguido "crear" el campo electromagnético a partir del espacio-tiempo vacío. Pero además hemos obtenido otro logro incluso más impresionante: hemos conseguido unificar la gravedad y el electromagnetismo, puesto que ambas fuerzas fundamentales pueden derivarse de una misma fuente: el tensor métrico de cinco dimensiones.

El mismísimo Einstein quedó impresionando cuando Kaluza le envió el artículo para revisar en 1919.

Pero, ¿Qué significa esta quinta dimensión?, ¿Es esta nueva dimensión real?, ¿Como podemos interpretar este fascinante resultado?

Desvelando el misterio de la quinta dimensión

Cinco años después del sorprendente trabajo de Kaluza, el físico Oskar Klein publicó un artículo que aclaraba muchos aspectos de esta nueva y misteriosa quinta dimensión.

Klein identificó el sistema de coordenadas que preservaba la condición cilíndrica asociada a la quinta dimensión. El sistema de coordenadas asociado a la geometría de cinco dimensiones que preserva la condición cilíndrica es precisamente aquel que contiene una simetría gauge U(1) y que deja invariante el campo de fuerza electromagnético.

La coordenada g44 del tensor métrico representa el valor de un campo escalar (en ocasiones denominado Radión) que "vive" en la quinta dimensión. Este escalar se propagaría por la quinta dimensión siguiendo la función de onda usual. Debido a la geometría periódica circular de la quinta dimensión este nuevo campo tendría estados excitados n1, n2, ... cuya masa/energía creciente sería proporcional a n/R, donde R es el radio de la dimensión circular. Esta "torre" de partículas de masa creciente sería un indicador de la existencia de nuevas dimensiones compactadas y están siendo buscadas activamente por experimentos de alta energía como el acelerador LHC.

Klein observó una analogía entre la óptica y la mecánica y comentó: "La ecuación de onda de Hamilton-Jacobi tiene que ser interpretada como una ecuación en cinco dimensiones en lugar de en cuatro dimensiones". Con esta interpretación obtenemos que la carga electromagnética que sentimos en nuestro Universo cuatridimensional es debida al momento de un campo escalar que se mueve en la quinta dimensión.

Para ver esto más claro hay que tener en cuenta que, en la teoría de KK la ecuación tensorial que describe la aceleración de una partícula cargada en un campo magnético es:

Mientras que la ecuación para una partícula que se mueve libremente en el espacio-tiempo de KK es:

Comparando las dos expresiones anteriores se aprecia más claramente lo que expliqué anteriormente: la carga eléctrica “e” constituye la quinta componente del momento en cinco dimensiones. Es decir, la carga detectada en 4 dimensiones ¡es una manifestación del movimiento en la quinta dimensión! Este es el segundo "tesoro" oculto en la quinta dimensión.

De forma intuitiva, la nueva dimensión compactada puede visualizarse asignando un círculo a cada punto del espacio-tiempo 4D. Más concretamente, visto a altísimas energías, cada punto de nuestro espacio-tiempo es en realidad un círculo.

Recreación de una partícula de altísima energía moviéndose por el espacio-tiempo de 5 dimensiones

El tercer "tesoro" escondido en la quinta dimensión

Para descubrir el último tesoro escondido en la nueva dimensión seguiremos a una función de onda desplazándose por el espacio-tiempo de 5 dimensiones. La función de onda será:

La invarianza de esta función de onda respecto a los cambios de la fase implica:

Por tanto:

Lo que implica:

Como k tiene unidades de acción le podemos asignar el siguiente valor constante:

Lo que finalmente nos lleva a:

¡Esta expresión es el principio de incertidumbre de Heisenberg! ¡A partir de esta expresión pueden derivarse todos los principios de la mecánica cuántica! Permitiendo el acceso a una quinta dimensión compactada hemos descubierto el principio fundamental de la mecánica cuántica. Una nueva dimensión compactada explicaría en términos geométricos la aparición de los efectos cuánticos que vemos en nuestro Universo 4D. La interpretación de este hecho es objeto de controversia puesto que como veremos, una sola dimensión extra no es suficiente para explicar nuestro Universo.

La unificación de las fuerzas fundamentales

Sabemos que en nuestro Universo existen más fuerzas además de la gravedad y el electromagnetismo: la fuerza nuclear débil y la fuerza nuclear fuerte. La pregunta evidente es: ¿Podemos unificar también estas fuerzas accediendo a nuevas dimensiones? Sabemos por el modelo estándar de la física de partículas que la simetría responsable de la fuerza débil es la simetría gauge SU(2) y la de la fuerza fuerte es la SU(3). Debido a esto parece natural intentar incluir estas nuevas simetrías en una teoría de KK ampliada. Esto ha llevado a los físicos a incluir grupos de simetría más grandes y a utilizar un número de dimensiones mayor.

Este proceso ha conducido a la física fundamental hasta la única teoría capaz de unificar todas las fuerzas fundamentales: la teoría de supercuerdas. Esta teoría incorpora 6 nuevas dimensiones compactadas y usa grupos de simetría superiores como el grupo E8.

Podemos concluir que aunque la teoría KK no describe nuestro Universo real, sí provee un mecanismo capaz de unificar las fuerzas fundamentales. El mecanismo de Kaluza-Klein sienta las bases para unificar la gravedad y el resto de fuerzas fundamentales en un solo marco geométrico de 10 dimensiones.