VERDADES CUANTICAS

VERDADES CUANTICAS

Simulación cuántica

Los humanos aprendimos a contar el tiempo de formas muy originales. Creamos relojes basados en el movimiento del agua que circula por un ingenioso sistema de canales dotado de pequeños saltos y ocurrentes depósitos intermedios. Inventamos la clepsidra, un instrumento que nos permitió medir el tiempo. También inventamos el reloj de arena. En este caso, la caída de finos granos de arena a través de un cristal que tiene una parte angosta permite calcular el paso del tiempo. Si nos centramos en contar el tiempo, un reloj de arena simula a una clepsidra y viceversa. Poco importa que el rozamiento de la arena sea fundamental en un caso y ni siquiera exista en el otro. Los dos sistemas siguen leyes diferentes pero resultan prácticamente equivalentes cuando se trata de medir el tiempo.

La idea de utilizar sistemas que obedecen leyes diferentes para que uno simule el otro es ancestral. Es el extenso concepto de simulación. En simulación es irrelevante el comprender en detalle las leyes de un sistema. Basta saber manipularlas para lograr algo efectivo. Podemos medir el tiempo con un reloj de arena, con una clepsidra, con un péndulo o con un sistema de engranajes y muelles. Uno simula el otro a efectos de ser un reloj.

Un ejemplo más agresivo. Tomemos el comportamiento de los electrones en el silicio. Podemos diseñar el entorno del semiconductor y añadir conectores de forma que el comportamiento de un electrón reproduzca exactamente el que corresponde a una puerta lógica. Al construir un transistor, las leyes que lo rigen sirven para simular un cálculo. Esas leyes no saben de sumas o restas. Somos nosotros quienes las aprovechamos para que den resultados de operaciones matemáticas.

El reto en el mundo cuántico es espectacular. ¿Podemos aprovechar las leyes de ciertos sistemas cuánticos para simular otras leyes que nos interese analizar? La respuesta es sí, tanto como sea capaz nuestra imaginación.

Superconductividad

El primer éxito experimental en simulación cuántica fue el de lograr que un sistema de átomos en un gas ultrafrío se comportase como un conjunto de electrones que muestren la propiedad de superconductividad en un sólido. No hay transporte de carga eléctrica en el mundo de los átomos fríos, pero las leyes de la transición entre la no-superconductividad y la superconductividad son fielmente reproducidas por esos átomos. El montaje de este experimento es laborioso. Primero hay que crear un gas ultrafrío. Para lograrlo se utilizan técnicas de enfriamiento clásicas, luego se utilizan láseres que aprovechan el efecto Doppler y luego se utiliza evaporación libre.

El gas llega a cientos de nanokelvin. Después, este gas es atravesado por láseres de forma que se crea un retículo óptico. Los átomos se acomodan en los pozos de este retículo óptico. Es posible manipular los láseres para que los átomos, o bien queden atrapados en los pozos del retículo, o bien puedan saltar de pozo en pozo simulando la superconductividad. La simple idea de que un gas cuántico simule las leyes de la superconductividad es admirable.

Eficiencia cuántica

Si el objetivo es estudiar la superconductividad, ¿por qué no intentamos simular estos sistemas en ordenadores clásicos? Este es un punto relevante: la simulación de sistemas cuánticos en ordenadores clásicos es lenta, costosa, terriblemente inadecuada. En cambio, otros sistemas cuánticos comparten propiedades como la superposición, el entrelazamiento o la decoherencia. Un sistema cuántico es un candidato natural para simular otro sistema cuántico.

La idea de utilizar la propia mecánica cuántica para simular sistemas cuánticos fue propuesta por Richard Feynman. Podemos rescatar una de susgenuinas expresiones, de 1982:

"La naturaleza no es clásica, maldita sea, y si deseas hacer una simulación de la naturaleza será mejor que la hagas usando la mecánica cuántica. Y vaya problema maravilloso, porque no parece nada fácil".

El hecho cautivador es que la mecánica cuántica ofrece un instrumento eficiente para analizarse a sí misma. La simulación cuántica puede parecer el pariente pobre de la computación cuántica. Pero sería un error caracterizarla de esa manera. Una mejor imagen es pensar en la simulación cuántica como un familiar muy imaginativo, poco ortodoxo, que puede llegar muy lejos.

Locuras cuánticas

No faltan ideas para simular fenómenos cuánticos de la más variada índole. Un ejemplo notable es la posibilidad de simular campos electro magnéticos artificiales. Es posible hoy en día crear situaciones donde los elementos cuánticos se comportan como si estuviesen inmersos en un campo electromagnético. No existe ese campo electromagnético, dado que lo podemos simular empleando rotaciones del sistema cuántico. Podemos, pues, simular la existencia de campos magnéticos artificiales y ver cómo aparecen vórtices de materia, que es un fenómeno esperable en esa situación. Además, podemos simular campos intensos o débiles a nuestra voluntad. Podemos estudiar las leyes de la física fuera del dominio natural que nos ofrece la naturaleza.

Podemos tratar de simular cualquier tipo de ley cuántica, sea para estudiar partículas elementales, física nuclear, física atómica y molecular, materia condensada o una interacción luz-materia de cualquier tipo. Cada ley es diferente y debe ser emulada en un sustrato cuántico adecuado. Los éxitos actuales vienen de la simulación de sistemas de materia condensada, pero la extensión de la simulación cuántica es imparable.

En una nota más alocada, es también posible simular el comportamiento cuántico de la materia en presencia de campos gravitatorios artificiales, o simular el comportamiento de sistemas en dimensiones imaginarias extra. Es posible simular topologías imaginarias. Casi todo es posible en el reino de la simulación cuántica.

Química cuántica

¿Cuál es la apuesta más ambiciosa en el mundo de la simulación cuántica? La química cuántica. Predecir las propiedades de moléculas es un problema extremadamente difícil. Las ecuaciones que rigen la física molecular son conocidas, pero su solución resulta muy laboriosa porque las ecuaciones diferenciales que aparecen requieren un enorme poder de cálculo para resolverlas. Tanto es así que el diseño de fármacos o el estudio de materiales topa con problemasde cálculo que superan a los ordenadores clásicos.

Una apuesta apasionante en este ámbito es intentar simular las propiedades químicas de una molécula mediante la simulación cuántica. No deseamos resolver las complejas ecuaciones que rigen a la molécula: nos basta con hallar un sistema controlable que simule las interacciones relevantes de la molécula. Si lo logramos, podemos descubrir qué formas adoptarán las moléculas, cómo se estructuran sus niveles energéticos, cómo reaccionan a acciones externas. La simulación cuántica de la química cuántica es, sin duda, una apuesta magnífica para avanzar en la ingeniería de medicamentos o la caracterización de nuevos materiales.

Imaginación

Se atribuye a Sexto Julio Frontino, senador romano del siglo I, la frase: «Hace tiempo que las invenciones han llegado a su límite; no veo ninguna posibilidad de nuevos desarrollos». Pocas opiniones pueden contener tanto error en una forma tan concisa. Frontino fue un hombre muy capaz, ingeniero, gobernador, responsable del agua. Escribió sobre el arte de la guerra y también sobre el acueducto de Roma, mundos donde el margen de error debía ser pequeño y en que las innovaciones eran difíciles de ensayar.

Frontino fue un hombre inteligente, pero no vio lejos. Cada generación infravalora la imaginación de la siguiente generación. Afortunadamente, no todo el mundo es tan obcecado frente a la capacidad de crear nuevas ideas. Voltaire decía muy acertadamente que ningún problema podía resistir el asalto del pensamiento perseverante. La simulación cuántica es un enorme caldo de cultivo de ideas inesperadas, de ataques nuevos a viejos y nuevos problemas. Es cierto que cada vez comprendemos mejor qué problemas son difíciles y cuáles son asequibles. Pero la imaginación obrará milagros.

La mecánica cuántica se basa en axiomas, que son verdades indemostrables. Esta idea es discutida raramente en los libros de divulgación. Se suele presentar la ciencia como algo sólido, certero ycerrado. No es frecuente leer en detalle que todas las teorías científicas se sustentan en unos pocos principios indemostrables. Creo que es necesario dejar buena constancia de la relevancia de un postulado. De ahí que todo este apéndice esté dedicado a la idea de las verdades indemostrables.

Verdades indemostrables

Un postulado es una verdad que aceptamos y que no sabemos deducir a partir de otra verdad más elemental. Para nosotros, axioma y principio son sinónimos de postulado, de verdad indemostrable. Un postulado es lo opuesto a un prejuicio. Un postulado está sujeto a crítica, a error, a refinamiento, a sustitución, porque en él se sustenta todo el edificio de una teoría y sus predicciones. Si un solo hecho contradice a un postulado, este debe ser reexaminado. En cambio, un prejuicio ataja toda discusión e impone su dictadura, porque no quiere ser cuestionado.

El postulado es fruto de la duda sistemática y de la capacidad de rectificar y aprender. El prejuicio se apropia de las mentes que temen la reflexión, que niegan la equivocación y buscan aferrarse a dogmas estériles.

Postulados cuánticos versus prejuicios clásicos

La mecánica cuántica se sustenta en unos pocos postulados. Gracias a ellos podemos describir la naturaleza con precisión exquisita. En un segundo estadio, nuestra comprensión de las leyes cuánticas nos permite desarrollar nueva tecnología. Podemos controlar la luz y crear láseres; podemos excitar núcleos atómicos y ver el interior del cuerpo humano con resonancias magnéticas; podemos crear circuitos con semiconductores, que son el corazón de los ordenadores.

Los postulados cuánticos han debido superar a los prejuicios clásicos. Para ganar esta gran guerra, los postulados cuánticos han sido cuestionados de forma feroz a lo largo de todo un siglo. Albert Einstein escribió repetidamente que, en su opinión, la mecánica cuántica es una teoría incompleta:

"La mecánica cuántica es impresionante. Pero una voz interior me dice que no es todavía la cosa real. La teoría produce mucho, pero no nos acerca a los secretos del Viejo".

¡A muchos físicos cuánticos les encantaría charlar un buen rato con el Viejo, si existe!

Generación tras generación, se han diseñado nuevos experimentos para tratar de hallar fisuras en los postulados cuánticos. Pero la naturaleza se ha empecinado en confirmar la validez de estos axiomas, a pesar de Einstein. Las disputas intelectuales sobre los postulados cuánticos, sobre su sentido, su necesidad y su certeza no dejan de sucederse. Decía el gran físico Richard Feynman que deberíamos avergonzarnos por nuestra pobre comprensión de la mecánica cuántica. No hay profesor de mecánica cuántica que no hable de su interpretación como del arcano más profundo que ha construido la humanidad.

La incesante búsqueda

Los postulados son el fruto de milenios de incesante búsqueda de explicaciones sencillas. Nunca dejaremos de refinarlos, incluidos los cuánticos. ¿Por qué llueve? ¿Cómo se mantiene unida una silla? ¿Por qué los polos de dos imanes se repelen o atraen? En cada pregunta hay un largo camino recorrido que explica de forma cada vez más simple un hecho que nos parece complejo. Recorramos uno de los ejemplos anteriores. Llueve porque el agua evaporada por el calor del Sol a la atmósfera llega a una zona fría, vuelve a su estado líquido, más denso, y cae. El agua tiene diferentes estados —gas, líquido, sólido—, que dependen de la fuerza deatracción entre sus moléculas y las velocidades que llevan. Las fuerzas de atracción del agua dependen de las ecuaciones del electromagnetismo cuántico aplicadas a sus átomos de hidrógeno y oxígeno.

Estas ecuaciones pueden escribirse de forma sencilla y están sustentadas por un postulado básico que recibe el nombre de simetría gauge. Hasta ahí sabemos.

Un ejemplo más. En el medioevo, el prejuicio dominante era que la Tierra era plana. En el siglo XVI, los navegantes dieron la vuelta al mundo y descubrieron que la Tierra no era plana, sino esférica. ¿Cómo podían los hombres caminar sobre esa Tierra esférica en la antípoda? Porque los objetos caen hacia el centro de la Tierra. ¿Por qué los objetos caen hacia el centro de la Tierra? Isaac Newton formuló un postulado: dos masas se atraen con una fuerza que decrece según la distancia que los separa al cuadrado. De ese postulado se sigue tanto el porqué de la caída de los objetos sobre la superficie de la Tierra, como el porqué de las órbitas de los planetas.

La pregunta natural pasa a ser: ¿por qué dos masas se atraen? Einstein cambió el postulado de Newton por uno mucho más sutil y que da pie a la teoría de la relatividad general: las leyes de la naturaleza no dependen de ciertos cambios en los sistemas de referencia. De este principio tan peculiar emergen todos los fenómenos gravitatorios, incluidos la formación y paradojas de agujeros negros. ¿Podremos reducir aún más este postulado? Seguramente será así, pero hoy en día no sabemos cómo reducir el postulado de la relatividad general a algo más sencillo.

La búsqueda de explicaciones más elementales no cesará nunca.

¿Qué es el Universo?

Tomemos una pregunta más profunda: ¿por qué existe un Universo? ¿Por qué hay algo en lugar de nada? Esa cuestión no tiene una respuesta en la mecánica cuántica. Con nuestras teorías basadas en postulados cuánticos, tendremos ecuaciones que nos dirán que lo que vemos se puede describir como si el Universo hubiese sufrido una ubicua explosión inicial, un Big Bang. Pero las ecuaciones no nos dicen ni qué hubo antes del Big Bang, ni mucho menos por qué hubo un Big Bang, o por qué hay espacio-tiempo, o qué es el espacio-tiempo en un sentido profundo. De verdad, la mecánica cuántica es una teoría humilde.

Pero también es una teoría magnífica porque describe todo lo que pasó desde un infinitesimal instante posterior al Big Bang. Describe cómo se crearon los protones, los átomos, cómo se aglomeraron y cómo dieron lugar posteriormente a galaxias. La mecánica cuántica dicta las proporciones de elementos en el Universo que justifican que los humanos podamos existir, explica cómo brilla el Sol, predice cómo morirá el Sol. ¿Es o no es la mecánica cuántica una teoría magnífica?

Sencillez

La aparente sencillez de un postulado puede ser sorprendente. Giuseppe Peano en 1889 propuso, como primer postulado para construir los números naturales, lo siguiente:

0 es un número natural.

¿Puede un postulado ser más minimalista? Creo que no. En un acto romántico, Peano escribió sus postulados en "latino sine flexione", una evolución simplificada del latín inventada por él mismo. Tal vez quiso rodear de belleza la singularidad de lo indemostrable. Los postulados cuánticos son minimalistas y sorprendentes.

Postulados divergentes

Es concebible que existan distintas variantes válidas de un postulado que lleven a teorías diametralmente opuestas. Por ejemplo, el quinto axioma de Euclides dice que dos rectas paralelas no se cortan en el infinito. De esta verdad indemostrable parte la geometría euclídea. Podemos postular, en cambio, que ambas rectas sí se cortarán y así construir la geometría elíptica. Si postulamos una tercera opción en la que las rectas paralelas divergen, obtendremos la geometría hiperbólica. Todas estas geometrías tienen sentido matemático.

No existen variantes divergentes u opuestas de los postulados cuánticos porque la naturaleza ha escogido una única opción válida. A diferencia de las matemáticas abstractas en que una variante de un postulado da lugar a toda una estructura matemática correcta, los fenómenos naturales se rigen por unos postulados estrictos. No hay margen de juego.

Adiós a los prejuicios

Los postulados cuánticos son inesperados, sutiles, contraintuitivos, profundos, elegantes. Crean dudas, desconciertan, elevan la mente. Los postulados cuánticos cambian a quienes los visitan porque estos se verán forzados a abandonar sus prejuicios.

¿Estamos preparados para abandonar nuestros prejuicios?

Matemáticas cuánticas

La mecánica cuántica utiliza un aparato matemático que no es conocido por el gran público. Las matemáticas de la mecánica cuántica amedrentan. Un buen curso de mecánica cuántica tiene extensos prerrequisitos de álgebra y análisis. Además requiere conocimientos sólidos de física clásica, electromagnetismo clásico, incluso una introducción a los primeros pasos de la mecánica cuántica desde el punto de vista del problema del cuerpo negro, del átomo de Bohr o de ideas de mecánica estadística. Todo ello requiere un gran esfuerzo intelectual. Solo aquellas personas que han estudiado carreras científicas duras saben de espacios de Hilbert, de ecuaciones diferenciales, de álgebras y simetrías.

Sin embargo, estos conceptos no son extremadamente difíciles o abstractos. Solo requieren paciencia y estudio. Vale la pena no temer las matemáticas de la mecánica cuántica. Los sedientos que se adentran en ellas reciben su merecido premio.

Espacios de Hilbert

Todo sistema físico tiene asociado un espacio de Hilbert, es decir, un espacio vectorial dotado de producto escalar y separable. La función de onda que contiene la información del sistema es un vector (o ket) del espacio de Hilbert.

Los espacios de Hilbert para describir la posición de una partícula deben contener estados de norma finita, dado que la función de onda es la densidad de probabilidad de hallar la partícula en un punto. Son los espacios de tipo L²(R³). En cambio, los espacios de Hilbert finitos vienen asociados a propiedades como el espín de un electrón. En general, los espacios de Hilbert tienen vectores complejos. De ahí que sea posible observar fenómenos como la interferencia, o el espín, que corresponde a una representación compleja del grupo de rotaciones.

Operadores autoadjuntos

Los observables corresponden a la acción de operadores autoadjuntos, o hermíticos, donde la distinción es un matiz matemático. Esta propiedad garantiza que sus autovalores son reales y así podemos hacer contacto con la naturaleza. Nuestras observaciones son reales, corresponden a autovalores de operadores hermíticos. De hecho, este punto matemático es bastante más sutil. Hay dos refinamientos a tener en cuenta. En primer lugar, no es necesario que un observable esté asociado a un operador cuyos autovalores sean reales. Lo correcto es asignar observables a proyectores. Estos proyectores pueden combinarse empleando pesos complejos. No hay contradicción en esta forma de proceder.

El segundo punto sutil implica una generalización de las medidas proyectivas que venimos de describir. El observable más general posible es una resolución de la identidad con proyectores no ortogonales, y recibe el nombre de POVM (positive operator valued measurement).

Por último, todo estudiante de mecánica cuántica sabe lo difícil que es definir correctamente el operador posición, debido a que sus autofunciones naturales no son normalizables. Hay que hilar más fino y comprender la idea de convergencia de series de Cauchy y estados de medida nula. Esta parte de las matemáticas se hace tremendamente técnica, pero no afecta a los cálculos tradicionales que se validan en los laboratorios.

Proyección

El mundo técnico asociado a la comprensión del postulado de proyección es muy variado y no fundamental en el uso cotidiano de la mecánica cuántica. Los primeros escarceos para comprender esta sutil idea proceden de Von Neumann.

El postulado de proyección sigue siendo esquivo. Muchos lo vemos como un postulado efectivo, de uso práctico, pero de trasfondo inmenso.

Unitariedad

El postulado de evolución encierra varios secretos. El primero es comprender que la evolución de un sistema se describe mediante la acción de un operador unitario. Eso garantiza que las probabilidades que describe la función de onda sigan sumando 1 en cualquier tiempo. La forma concreta del operador unitario de evolución corresponde a la exponencial ordenada en el tiempo de un hamiltoniano. Este operador hamiltoniano describe las interacciones del sistema. En él debemos introducir las leyes concretas que deseamos describir, sean las del electromagnetismo, las de las interacciones fuertes, las de un oscilador o las de un conjunto de electrones en un superconductor.

La linealidad de la evolución unitaria es crucial para comprender el teorema de no clonado. No es posible construir una máquina cuántica que clone un estado que no sea conocido. Es admirable que el postulado de evolución y el de medida se combinen para no permitir artimañas, como el clonado masivo de un estado, para obtener más información sobre él. El no clonado también garantiza la imposibilidad de crear paradojas sobre la violación de causalidad en mecánica cuántica.

La mayoría de los sistemas de mecánica cuántica pueden comprenderse al hallar la función de onda. Esta queda descrita como el autoestado del hamiltoniano. Cuando el sistema está formado por partículas en el espacio, el problema de autoestados queda descrito por la célebre ecuación de Schrödinger. Es una ecuación diferencial. Hay que utilizar las matemáticas del análisis.

La aparición de la constante de Planck

Toda la mecánica cuántica toma carta de identidad cuando las transferencias de energía son pequeñas. De forma más precisa, si deseamos describir un fenómeno donde el cambio de energía multiplicado por el tiempo involucrado —cantidad que llamamos acción— es del orden de la constante de Planck, h; en ese caso necesitamos de la mecánica cuántica. La constante de Planck aparece en dos lugares: en el operador unitario de evolución y en la no conmutatividad de ciertos operadores. Este segundo caso tiene como ejemplo estelar el hecho de que el operador posición y momento no conmutan, y de ese hecho se sigue el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Más y más matemáticas

La mecánica cuántica se relaciona con varias ramas (o todas) de las matemáticas. Además de con el álgebra básica, las ecuaciones diferenciales y el análisis armónico, los estados cuánticos de sistemas finitos desvelan fuertes lazos con la teoría de códigos y las ideas de compresión y de redundancia en la teoría de la información clásica.

Cuando tratamos teorías de interacciones entre partículas elementales, los hamiltonianos implican simetría gauge, que enlaza con la teoría de grupos de Lie y, en una versión específica, con topología, teoría de nudos e incluso geometría algebraica. Hay un sinfín de ramas de la mecánica cuántica que tocan, cada una, algún aspecto de las matemáticas. Pero esta fructífera relación no es exclusiva de la mecánica cuántica: se halla presente en toda la física.

Interpretación de Copenhague

Para aquellos expertos en mecánica cuántica, confieso que he dejado de lado la interpretación bohmiana de esta teoría. También he dejado fuera del texto las ideas de Universos paralelos. El lector no experto debe saber que las interpretaciones de la mecánica cuántica no difieren en sus predicciones. Las interpretaciones se corresponden con la construcción mental que nos permite apropiarnos de las fórmulas que utilizamos. La versión aquí presentada corresponde a la interpretación de Copenhague, la escogida por la inmensa mayoría de los investigadores que utilizan mecánica cuántica y sus teorías derivadas, como la teoría cuántica de campos.

Una nota aclaratoria. Si usted ha oído hablar de Universos paralelos y cree que en uno de los Universos estalló una bomba y en el otro no, la pregunta de qué pasará cuando se reúnan ambos Universos no tiene sentido. En la interpretación de Universos paralelos, estos nunca se reúnen. Es una interpretación que no da lugar a ninguna situación extraña y que, de hecho, no aporta ningún elemento significativo a los principios relevantes de la mecánica cuántica.

La teoría final

Un pequeño sueño final. Si algún día la humanidad llega a descubrir una descripción más elemental de las leyes que nos rigen, apuesto a que ese conocimiento tendrá su base en la matemática. No puedo concebir nada más básico que las relaciones que tienen los números entre sí, la magia de los números primos y sus relaciones. Toda la comprensión del Universo debe reducirse a contar de uno en uno.